Konvergenz

03.12.2012, 20:04

Sahra

Konvergenz

Strebt $\begin{eqnarray*} (n!)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ schneller gegen unendlich als jede Exponentialfolge $\begin{eqnarray*} (q^n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q>1 \end{eqnarray*}$

Beweisen oder wiederlegen sie die Aussage.

Also ich denke mal, das die Exponentialfunktion schneller wächst als $\begin{eqnarray*} (n!)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ .

Das könnte ich z.B. zeigen wenn ich beweise:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{q^n} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Nach unten abschätzen wäre auch kein Problem, allerdings wüsste ich nicht was ich mit den n! machen sollte.

Ist meine Vermutung überhaupt richtig, und wenn ja wie kann ich das beweisen ?

Ein Ansatz wäre mir eine große Hilfe,
lg. Sahra smile

03.12.2012, 21:01

Jello Biafra

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von Sahra
Also ich denke mal, das die Exponentialfunktion schneller wächst als $\begin{eqnarray*} (n!)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ .

Das könnte ich z.B. zeigen wenn ich beweise:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{q^n} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Das solltest Du noch mal überdenken.

Sei $\begin{eqnarray*} n_0>|q|. \end{eqnarray*}$

Setze: $\begin{eqnarray*} K:=\left|\prod_{k=1}^{n_0} \frac qk\right|. \end{eqnarray*}$

Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq\left|\frac {q^n}{n!}\right|=\left|\prod_{k=1}^n\frac qk \right|\leq \frac Kn\longrightarrow 0. \end{eqnarray*}$

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