Matrix, die zu sich selbst invers ist (bel. Körper) |
03.12.2012, 20:13 | Stefan1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Matrix, die zu sich selbst invers ist (bel. Körper) ich habe die Aufgabe, dass a,b € K (K ist ein Körper) ist und ich entscheiden soll, ob es x,y € K gibt, so dass die folgende Matrix zu sich selbst invers ist: Meiner Meinung nach ist das möglich, wenn nicht gleichzeitig a = y und b = x gilt (denn dann wäre die Determinante ja schonmal 0). Außerdem darf nicht gleichzeitig a = b = 0 und x = y = 0 sein und y muss -a sein. Stimmt das? Gibt es noch andere Lösungen? Eigentlich müssen ja alle Lösungen das hier erfüllen, oder? Das kann man dann so umformulieren ergibt mit ein bisschen umformen, dass a = y oder a = -y sein muss. Komischerweise komme ich auf keine vernünftige Lösung, wenn ich a = y in die Matrix einsetze. Dann habe ich nämlich wieder 0 als Determinante. Liegt mein Fehler vielleicht wo anders? Ich würde mich sehr über TIpps freuen! Lg Stefan |
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03.12.2012, 22:27 | Macks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi Stefan, was bekommst du denn raus wenn du a = -y setzt ? also ich bekomme auf die Schnelle: raus, was mit der Bedingung recht stark nach der Einheitsmatrix aussieht. Also wären deine Bedingungen a = -y und Aber ich kann mich auch täuschen Gruß Max |
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05.12.2012, 17:11 | Stefan1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das stimmt. Die Frage ist, ob das die einzigen möglichen Werte sind oder ob es noch andere gibt |
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05.12.2012, 17:28 | Stefan1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich komm mit der Aufgabe echt nicht klar. Wie geht man denn an sowas ran? |
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05.12.2012, 19:00 | Macks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrix, die zu sich selbst invers ist (bel. Körper)
schau doch mal wann a = y eine Lösung sein kann für:
ansonsten passt doch alles, oder? Gruß |
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05.12.2012, 19:04 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn die Darstellung der Inversen per bekannt ist, überlegen, wie die Determinante aussehen muss und dann eine Fallunterscheidung machen. |
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08.12.2012, 17:58 | charlydelta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich glaube nicht dass das so einfach ist, denn es gibt ja noch viele andere faktoren... z.b. kann auch die gleichung erfüllt sein, wenn b=x und y=b^-1 bzw y=x^-1 usw usf... die lösung muss man auch anders herleiten können... oder? |
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08.12.2012, 19:13 | Rabe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hänge auch an dieser Aufgabe... ist ja eine selbstinverse Matrix, braucht man dann die Darstellung mit der Determinate überhaupt? Im übrigen erfüllt die gespiegelte Einheitsmatrix ebenfalls die geforderte Bedingung. Das hab ich jedoch auch nur durch Rumprobieren rausgekriegt. Die Frage bleibt aber, wie zeigt man das? Gruß Rabe |
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08.12.2012, 19:28 | charlydelta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Che Netzer Mir persönlich sagt das nichts... ich hab mal aber mit der Determinante rumprobiert... Ich komm nur nicht weiter: Aber dann komm ich nicht weiter... Ich kann höchstens das Binom ausmultiplizieren, aber das bringt auch nicht viel mehr. |
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08.12.2012, 19:55 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Quadrieren der Matrix und vergleichen mit den Nullen der Einheitsmatrix liefert die notwendigen Bedingungen (1) a+y=0 oder (2) x=b=0. Vergleich mit den Einsen der Einheitsmatrix gibt dann im Fall (1) a²+bx=1 (y²+bx=1 ist dann wegen a=-y erfüllt) und im Fall (2) a²=y²=1 als notwendige Bedingungen. Jetzt musst du nur noch nachrechnen, ob das alles hinreichend ist. Du hattest schon fast alles, du hast nur nicht gesehen, dass ax+xy=(a+y)x und ab+by=(a+y)b gilt. |
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08.12.2012, 21:01 | Rabe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Elvis: Aus welcher Vorausetzung bzw. welchem Rechenschritt folgt (1) a+y=0 und (2)x=b=0? Ich hab's versucht nachzurechnen, aber irgendwie komm ich gerade nicht drauf. |
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08.12.2012, 22:55 | Olafur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es folgt ein (1) a+y=0 ODER (2)x=b=0 du hast die Bedingung b(a+y) = 0 im Eintrag links unten, die bekommst du indem du die Matrix stur quadrierst und einen koeffizientenweise das Ergebnis mit der Einheitsmatrix vergleichst. Grüßle Olafur |
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09.12.2012, 00:53 | Rabe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, danke. Das hab ich nun verstanden und dann macht man eine Fallunterscheidung und setzt die Werte in die Gleichungen ein, die der Threadsteller schon genannt hatte: Aber warum ist das dann nur die notwendige und nicht die hinreichende Bedingung, wie Elvis meinte? Oder hab ich das irgendwie falsch verstanden? |
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09.12.2012, 10:40 | charlydelta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi Elvis, vielen Dank für deinen Beitrag, das hat mich ein großes Stück weitergebracht Nur stellen sich mir jetzt noch weitere Fragen diesbezüglich: Ich habe also den Fall a²+bx=1=y²+bx (Aus a+y=0) Daraus folgt: a²=y² und daraus: a²+bx=1, klar. Nur wie will ich damit weitermachen? ich kanns noch ein bisschen umformen, z.B.: bx=1-a² oder x = (1-a²)*b^(-1)... aber dann hörts doch auf... Oder was übersehe ich? Und was meinst du mit "nachrechnen, ob das alles hinreichend ist."? |
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09.12.2012, 10:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für den Fall (1) x=0,b=0,a²=y²=1 gibt es nur a und y = +/- 1 , vier Matrizen quadrieren. fertig. Für den Fall (2) für quadriere .Betrachte ebenso . fertig, denn b=x=0 war ja bereits durch Fall (1) erledigt. |
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09.12.2012, 11:55 | charlydelta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, klar hab da ein bisschen verkompliziert gedacht ^^ Okay ich hab alle 6 Fälle nachgerechnet und sie stimmen. Prima Danke für deine Hilfe Elvis |
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