Matrixmultiplikation

03.12.2012, 21:02

Hantel

Matrixmultiplikation

Hallo,

bin mir bei folgendem nicht sicher, ob richtig verstanden; Aufg. stellung:

Bilden Sie für allgemeine $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \leqq m \leqq N \end{eqnarray*}$ die Produkte:

$\begin{eqnarray*} A^2, D^n, AD, BC, CB, mit: (A)_\text{ij}=a, (B)_\text{ij}=b_j\delta_\text{im}, (C)_\text{ij}=c_i\delta_\text{mj}, (D)_\text{ij}=d_i\delta_\text{ij} \end{eqnarray*}$

Habe folgende Vorschläge:

$\begin{eqnarray*} A^2 = a_\text{ij}a_\text{ji} B^n = b_\text{i}^n\delta_\text{ij} AD = a_\text{ik}d_\text{i}\delta_\text{ki}=a_\text{ii}d_\text{i} BC = b_\text{k}\delta_\text{im}c_\text{k}\delta_\text{mj}=b_\text{k}c_\text{k}\delta_\text{ij} CB = c_\text{i}\delta_\text{mk}b_\text{j}\delta_\text{km}=c_\text{i}d_\text{j}\delta_\text{km} \end{eqnarray*}$

Was ist davon zu halten? Gruß.

PS: In einem Parallelthread (Hier) wird die gleiche Aufgabe diskutiert, aber unter verschiedenen Umständen. Wollte dort nicht die Verwirrung amplifizieren.

03.12.2012, 22:46

RavenOnJ

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RE: Matrixmultiplikation
nur nebenbei: Du musst nicht immer \text vor die Indizes schreiben, einfach die Indizes in geschweifte Klammern setzen. Ich hab das \text in den Zitaten überall rausgenommen.

Benutzt du die Einsteinsche Summenkonvention? Ich sag mal, nein.

Ich vermute, du hast (vielleicht) irgendwie das richtige gemeint, hast es aber auf alle Fälle falsch aufgeschrieben. Du musst dich entscheiden: Du kannst das ganze auf der rechten Seite der Gleichungen mit Basismatrizen $\begin{align*} e_{ij} \end{align*}$ schreiben, oder auf der linken Seite der Gleichungen die Koeffizientenindizes mitschreiben. Da ich nicht erkennen kann, was genau du meinst:

Zitat:

Original von Hantel

$\begin{eqnarray*} A^2 = a_{ij}a_{ji} \end{eqnarray*}$

Warum $\begin{align*} a_{ij} \end{align*}$ ? Es ist immer nur von $\begin{align*} a \end{align*}$ die Rede, da alle Einträge diesen selben Wert haben.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} B^n = b_{i}^n\delta_{ij} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} AD = a_{ik}d_{i}\delta_{ki}=a_{ii}d_{i} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} BC = b_{k}\delta_{im}c_{k}\delta_{mj}=b_{k}c_{k}\delta_{ij} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} CB = c_{i}\delta_{mk}b_{j}\delta_{km}=c_{i}d_{j}\delta_{km} \end{eqnarray*}$

03.12.2012, 23:00

Hantel

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RE: Matrixmultiplikation
$\begin{eqnarray*} { \color{red}(A^2)_{ij} = \sum_{k=1}^N a_{ik}a_{kj} } (A^2)_{ij} = a^2 \end{eqnarray*}$

Entschuldige bitte, stand auf dem Schlauch.

$\begin{eqnarray*} (D^n)_{ij} = d_{i}^n\delta_{ij} \end{eqnarray*}$

Hier war nicht $\begin{eqnarray*} B^n \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} D^n \end{eqnarray*}$ gemeint, entschuldige bitte.

$\begin{eqnarray*} (AD)_{ij} = a_{ij}d_{j} (BC)_{ij} = b_{j}c_{i}\delta_{mk} (CB)_{ij} = c_{k}b_{k}\delta_{ij} \end{eqnarray*}$

So, ich hoffe diesmal ist was dabei.
Und natürlich für obige Antwort herzlichen Dank.

03.12.2012, 23:19

RavenOnJ

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RE: Matrixmultiplikation

Zitat:

Original von Hantel
$\begin{eqnarray*} { \color{red}(A^2)_{ij} = \sum_{k=1}^N a_{ik}a_{kj} } (A^2)_{ij} = a^2 \end{eqnarray*}$

Entschuldige bitte, stand auf dem Schlauch.

Gut erkannt, stimmt aber immer noch nicht ganz.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (D^n)_{ij} = d_{i}^n\delta_{ij} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (AD)_{ij} = a_{ij}d_{j} \end{eqnarray*}$

Hier stehst du wieder auf dem Schlauch.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (BC)_{ij} = b_{j}c_{i}\delta_{mk} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (CB)_{ij} = c_{k}b_{k}\delta_{ij} \end{eqnarray*}$

03.12.2012, 23:49

Hantel

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RE: Matrixmultiplikation
$\begin{eqnarray*} (A^2)_{ij} = m*a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (AD)_{ij} = ad_{j} \end{eqnarray*}$

So, die letzten beiden überfordern mich jetzt. Komme nur soweit: Für $\begin{eqnarray*} (BC)_{ij} \end{eqnarray*}$ gibt es genau einen Eintrag, an dem die komplette Zeile aus B und die komplette Spalte aus C aufsummiert werden. (Stimmt das konzeptionell?)
$\begin{eqnarray*} (BC)_{ji} \end{eqnarray*}$ gibt es entweder gar keinen Eintrag, oder aber die Matrix ist komplett ausgefüllt und in der i-ten Zeilesteht $\begin{eqnarray*} c_ib_j \end{eqnarray*}$ . (Stimmt das konzeptionell?) Wenn ja, wie drücke ich orange mathematisch aus?

Danke für deine Hilfe, ich hoffe die obigen beiden sind jetzt OK.

04.12.2012, 00:22

RavenOnJ

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RE: Matrixmultiplikation

Zitat:

Original von Hantel
$\begin{eqnarray*} (A^2)_{ij} = m*a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & a & a & a\\ a & a & a & a \\ a & a & a & a \\ a & a & a & a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also $\begin{align*} A^2 = ? \end{align*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (AD)_{ij} = ad_{j} \end{eqnarray*}$

Zitat:

So, die letzten beiden überfordern mich jetzt. Komme nur soweit: Für $\begin{eqnarray*} (BC)_{ij} \end{eqnarray*}$ gibt es genau einen Eintrag, an dem die komplette Zeile aus B und die komplette Spalte aus C aufsummiert werden. (Stimmt das konzeptionell?)

Das ist jetzt ziemlich ungenau formuliert, geht aber in die richtige Richtung. Welche Zeile und Spalte ist das?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (BC)_{ji} \end{eqnarray*}$ gibt es entweder gar keinen Eintrag, oder aber die Matrix ist komplett ausgefüllt und in der i-ten Zeilesteht $\begin{eqnarray*} c_ib_j \end{eqnarray*}$ . (Stimmt das konzeptionell?)
.

das vergessen wir jetzt besser.

04.12.2012, 14:21

Hantel

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RE: Matrixmultiplikation

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & a & a & a\\ a & a & a & a \\ a & a & a & a \\ a & a & a & a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} A^2 = ? \end{eqnarray*}$

Hatte oben ja folgendes vorgegeben: Bilden Sie für allgemeine $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \leqq m \leqq N \end{eqnarray*}$ die Produkte:

Für den Fall ist es eben $\begin{eqnarray*} A = Na^2 \end{eqnarray*}$

Oder nicht?

04.12.2012, 16:39

RavenOnJ

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RE: Matrixmultiplikation

Zitat:

Original von Hantel

Hatte oben ja folgendes vorgegeben: Bilden Sie für allgemeine $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \leqq m \leqq N \end{eqnarray*}$ die Produkte:

Für den Fall ist es eben $\begin{eqnarray*} A = Na^2 \end{eqnarray*}$

Ganz so ist es nicht, jede Komponente der Matrix hat diesen Wert, also entweder

$\begin{eqnarray*} (A^2)_{ik} = N a^2, \forall 1\le i,k\le N \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} A^2 = \sum_{1\le i,k \le N} N a^2 e_{ik} = N a^2\sum_{1\le i,k \le N} e_{ik} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \left.\begin{array}{c} e_{ik} := \begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&\cdots &0 0&0&\cdots &0&\cdots &0 \vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\cdots & \vdots 0&0&\cdots &1&\cdots &0 \vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\cdots & \vdots 0&0&\cdots &0&\cdots &0\end{pmatrix} \quad\quad\quad \quad\quad\;\;\underbrace{}_{\text{k-te Spalte}}\quad\end{array}\right.\begin{array}{c} \}{\small\text{ i-te Zeile}} \quad\end{array} \end{eqnarray*}$

04.12.2012, 17:05

Hantel

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RE: Matrixmultiplikation
Alles klar. Danke für deine kompetenten Anweisungen; bin weiter gekommen!
LG

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