Planungsvieleck

03.12.2012, 21:30

lurchy24

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Planungsvieleck

Meine Frage:
Ein Unternehmen stellt zwei Produkte A und B her.

Bei der Planung des optimalen Fertigungsprogramms sind folgende Restriktionen zu beachten:´

10x1 + 5x2 \geq 40
6x2 ? 2x1 \geq 6
2x1 + 5x2 \leq 30
2x1 \leq 11

Der Stückerlös bei Produkt A beträgt 21 000,? Euro, bei Produkt B
18 000,? Euro.

Die Stückkosten von Produkt A belaufen sich auf 12 000,? Euro, die von
Produkt B auf 6 000,? Euro.

a) Bestimmen Sie grafisch die gewinnmaximalen Stückzahlen für die
Produkte A und B, und berechnen Sie den maximalen Gewinn.

b) Bestimmen Sie grafisch die kostenminimalen Produktionsstückzahlen
von A und B, und ermitteln Sie rechnerisch das Kostenminimum.

Meine Ideen:
Aufstellung meines Restriktionssystems:

x2 \geq -2x1 + 8
x1 \leq +3x2 - 3
x2 \leq -0,4x1 + 6
x1 \leq + 5,5

So, und dann keine Ahnung mehr!

Ich weiß, dass ich Zielfunktionen aufstellen muss!

Am Ende muss ich Eckpunkte haben und Zielfunktionswert K.

Vielleicht kann mir Jemand helfen?!

04.12.2012, 09:56

lurchy24

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RE: Planungsvieleck
Hat keiner für mich einen Lösungsansatz?

Wenn ich die Eckpunkte wüsste, dann weiß ich wie man auf die Zielfunktionswerte K kommt.

Gruß

04.12.2012, 12:20

Kasen75

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Hallo lurchy24,

zu a) & b) grafische Lösung

Du musst hier jeweils nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auflösen:

$\begin{eqnarray*} 10x_1 + 5x_2 \geq 40 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6x_2 + 2x_1 \geq 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1 + 5x_2 \leq 30 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1 \leq 11 \end{eqnarray*}$

Dann kannst du die Restriktionen in ein $\begin{eqnarray*} x_1-x_2 \end{eqnarray*}$ - Koordinatensystem einzeichen. Wobei hier nur der 1. Quadrant relevant ist.

Edit: Nur zur Vollständigkeit: Die vierte Restriktion ist einfach eine senkrechte Linie bei $\begin{eqnarray*} x_1 = 5,5 \end{eqnarray*}$ . Hier ist nichts nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ aufzulösen.

Grüße.

04.12.2012, 12:29

lurchy24

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Habe ich das nicht schon getan mit meinem Restriktionssystem?

Weiß einfach nicht weiter!

04.12.2012, 12:39

Kasen75

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Jedenfalls nicht bei der 2. Restriktion.

Schreib dann nochmal alle Gleichungen auf und setze Latex-Klammern. Sonst ist es viel schwieriger zu lesen.

04.12.2012, 12:47

HAL 9000

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Außerdem scheint es auch an der Zeit, doch endlich mal die Zielfunktion aufzustellen, d.h. den Gewinn, selbstverständlich via "Gewinn = Erlös - Kosten" ...

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04.12.2012, 12:51

Kasen75

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@HAL 9000

Alles zu seiner Zeit. Aber danke für den Hinweis. smile

smile

04.12.2012, 12:52

lurchy24

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Also ich probiere es mal:

x^2 \geq -2x^1 + 8
x^2 \leq - 8x^1
x^2 \leq - 0,4 x^1 + 6
x^1 \leq 5,5

04.12.2012, 12:55

Kasen75

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Setz doch bitte Latex-Klammern. Danke.

Statt ^ schreibe _ (Unterstrich).

04.12.2012, 13:21

lurchy24

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Also noch einmal:

x_2 (\geq) -2x_1 + 8
x_2 (\leq) - 8x_1
x_2 (\leq) - 0,4 x_1 + 6
x_1 (\leq) 5,5

04.12.2012, 13:53

Kasen75

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Restriktionen Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} 10x_1 + 5x_2 \geq 40 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6x_2 \textcolor{red}{+} 2x_1 \geq 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1 + 5x_2 \leq 30 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1 \leq 11 \end{eqnarray*}$

Stimmt denn das rote Pluszeichen? Oder muss hier ein Minuszeichen hin?

Deine Umstellung nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x_2 \geq -2x_1 + 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 \leq - 8x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 \leq - 0,4 x_1 + 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 \leq 5,5 \end{eqnarray*}$

Die Ungleichungen 1,3 und 4 sind richtig.

Bei der Ungleichung 2 fehlt eine Konstante. Außerdem hast du hier das Ungleichheitszeichen umgedreht.

Du kannst dir bei Gelegenheit folgenden Link durchlesen (wegen Latex): Link

04.12.2012, 14:26

lurchy24

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Also aus dem + muss ein - werden! Entschuldigung!

Meine 2.Restriktion lautet jetzt:

x_2 \geq + 4x_1 + 12

04.12.2012, 14:31

mYthos

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@lurchy24
Bitte setze ENDLICH LaTeX-Klammern!

04.12.2012, 14:37

Kasen75

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Wenn ich das hier $\begin{eqnarray*} 6x_2 - 2x_1 \geq 6 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ umstelle kommt bei mir immer noch etwas anderes heraus als $\begin{eqnarray*} x_2 \geq + 4x_1 + 12 \end{eqnarray*}$

Zeig doch mal die einzelnen Umformungsschritte.

Der code für $\begin{eqnarray*} x_2 \geq + 4x_1 + 12 \end{eqnarray*}$

ist:

code:
1:	[latex]x_2 \geq + 4x_1 + 12 [/latex]

@mythos
Danke für den Hinweis auch mal von anderer Seite.

04.12.2012, 14:41

lurchy24

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Entschuldige, muss mich damit erst so richtig beschäftigen. Bin neu hier! Werde es aber versuchen!

04.12.2012, 14:51

lurchy24

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Dann 3.Versuch:

1: $\begin{eqnarray*} x_2 \geq + 0,33x_1 - 1 \end{eqnarray*}$

04.12.2012, 14:55

Kasen75

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Ich würde hier die Bruchschreibweise vorziehen, da es sonst zu ungenau wird. Des Weiteren habe ich ein Pluszeichen:

$\begin{eqnarray*} x_2 \geq \frac{1}{3}x_1+1 \end{eqnarray*}$

Kannst du denn jetzt die Geraden einzeichnen?

04.12.2012, 15:06

lurchy24

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Und genau ab da verlassen Sie mich! Ich weiß das es 3 Geraden sein müssen abgesehen von der senkrechten Linie von 5,5!!

In meinen Heften ist es so kurz und knapp bzw. gar nicht so recht beschrieben!

04.12.2012, 15:10

lurchy24

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Müsste doch jetzt erst die Eckpunkte bzw. die Zielfunktion errechnen?!

04.12.2012, 15:19

Kasen75

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Stell dir das hier $\begin{eqnarray*} x_2 \geq \frac{1}{3}x_1+1 \end{eqnarray*}$

als das vor $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{3}x+1 \end{eqnarray*}$ .

Diese lineare Funktion kannst du doch einzeichnen.

Das Ungleichheitszeichen braucht man dann um den zulässigen Bereich zu bestimmen. Aber du kannst ja erstmal die die Geraden einzeichnen.

Die Eckpunkte ergeben sich ja dann mehr oder weniger automatisch durch die Schnittpunkte der Geraden.

Die Zielfunktion kommt später.

04.12.2012, 15:29

lurchy24

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Keinen Plan! Und vor allem wie kann ich hier am besten eine Grafik einfügen?

04.12.2012, 15:42

Kasen75

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Berechne einfach den x-Achsenabschnitt und den y-Achsenabschnitt der jeweiligen Funktion und verbinde diesen beide Punkte.

x-Achsenabschnitt:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{3}x+1 \end{eqnarray*}$

y-Achsenabschnitt:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{3} \cdot 0 +1 \end{eqnarray*}$

Du kannst eine Datei hinzufügen in dem du den Button "Dateianhänge" direkt unter dem Eingabefeld für den Beitrag drückst und dann die ensprechenden Anweisungen/Kriterien berücksichtigst.

04.12.2012, 16:06

lurchy24

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Es tut mir wirklich leid aber mir fehlt hier echt Alles!

Habe als einfachstes erst einmal die senkrecht von 5,5 eingezeichnet!

04.12.2012, 16:10

Kasen75

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Das ist schon mal ein Anfang.

Hast du denn die erste Gleichung nach x aufgelöst ?

Bei der zweiten Gleichung ist ja y leicht zu berechnen. smile

smile

04.12.2012, 16:21

lurchy24

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Also bei der 2.Gleichung ist x = 0 und y = 1 ?!

2.Gleichung: x = 4 und y= 2 ???

04.12.2012, 16:27

Kasen75

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Der Punkt $\begin{eqnarray*} P_2(0/1) \end{eqnarray*}$ stimmt.

Der erste Punkt hat auf jeden Fall für die y-Koordinate den Wert 0. Versuch nochmal die Gleichung zu lösen:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{3}x+1 \end{eqnarray*}$

04.12.2012, 16:35

lurchy24

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x-Koordinate x= 2 und y = 1

04.12.2012, 16:40

Kasen75

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Das ist nicht richtig.

Ich schrieb:

Zitat:

Der erste Punkt hat auf jeden Fall für die y-Koordinate den Wert 0

Um den x-Wert auszurechnen würde ich folgendermaßen anfangen:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{3}x+1 \ \ \ \ | \ -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1=\frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$

Was muss man jetzt tun, um x zu erhalten?

04.12.2012, 16:50

lurchy24

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Geb so langsam auf verwirrt

verwirrt

- 1 + 1 = x = 0 und y = + 2

04.12.2012, 17:01

Kasen75

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Du musst hier

$\begin{eqnarray*} -1=\frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$

einfach die Gleichung mit 3 multiplizieren um x zu erhalten.

Zitat:

y = + 2

Was soll das denn? Ich habe schon mehrmals geschrieben, dass y=0 ist.

Edit: Bin für ein paar Minuten weg.

04.12.2012, 17:05

lurchy24

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Dann ist x = 1 und y = 0!

04.12.2012, 17:31

Kasen75

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Diese Gleichung mit 3 multiplizieren

$\begin{eqnarray*} -1=\frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$

ergibt

$\begin{eqnarray*} -3=x \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} P_1(-3/0) \end{eqnarray*}$ und aus vorheriger Rechnung $\begin{eqnarray*} P_2(0/1) \end{eqnarray*}$ .

Kannst du diese beiden Punkte ins Koordinatensystem einzeichnen und verbinden?

Wenn ja dann, verlängere die Linie einfach ein so, dass die Gerade im ersten Quadranten auch gezeichnet ist.

04.12.2012, 19:06

lurchy24

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Habe die Gerade mal gezeichnet! Ich kann Sie nur nicht beifügen, weil die Datei so groß ist!

04.12.2012, 19:17

lurchy24

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Für die 1.Gleichung habe ich als P_2 = (0/4) raus?!

04.12.2012, 19:46

Kasen75

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Gegen eine kleine Rechnung habe ich nichts. Es würde uns beiden helfen.

Für $\begin{eqnarray*} y=8-2x \end{eqnarray*}$ habe ich aber einen anderen y-Achsenabschnitt.

Geht es überhaupt um die Gleichung ?

2. bis 3. Zeilen mehr würden uns sehr viel Zeit ersparen.

04.12.2012, 19:56

lurchy24

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Ok, ich versuche mal alles ausführlicher zu schreiben

Für y=8-2x habe ich jetzt P_2 (0;6). Habe die -2 in Abzug gebracht.

04.12.2012, 20:07

Kasen75

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Du hast also in $\begin{eqnarray*} y=8-2x \end{eqnarray*}$ für x=0 eingesetzt.

Dann steht dann da:

$\begin{eqnarray*} y=8-2 \cdot 0 \end{eqnarray*}$

Was ist denn jetzt y ?

2 abzuziehen macht hier keinen sind. Würde man 2 abziehen, würde dann $\begin{eqnarray*} y-2=6-2x \end{eqnarray*}$ herauskommen. Das wäre keine Vereinfachung.

Prinzipiell musst du zwischen 2 und 2x unterscheiden.

04.12.2012, 20:17

lurchy24

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Ich gebe für heute erstmal auf.

Sehe absolut nicht mehr durch Hammer

Hammer

Trotzdem vielen Dank!

04.12.2012, 20:21

Kasen75

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O.K., gerne. smile

smile

Vielleicht morgen noch mal. War ja auch ein langer Tag heute.

Die Aufgabe $\begin{eqnarray*} y=8-2 \cdot 0 \end{eqnarray*}$ kannst du ja dann morgen lösen.

Grüße.

05.12.2012, 11:46

lurchy24

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Hallo,

als für die 2.Restriktion habe ich jetzt für x = 0 und für y = 10 raus P(0/10)!

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