Ungleichung Lösungsmengen

04.12.2012, 08:43

Huette

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Ungleichung Lösungsmengen

Hallo,
Folgende Ungleichung sei Gegeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \leq 4 (x \neq 0) \end{eqnarray*}$

gibt es 2 Fälle, die man betrachtet.

Fall 1: $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$
Fall 2: $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$

Berechnung zu Fall 1:

Fall 1:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \leq 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \geq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ x|x\geq \frac{1}{4}\right\}=[\frac{1}{4},\infty ) \end{eqnarray*}$

Fall 2:
(Operationszeichen muss bei der ersten Multiplikation umgedreht werden, da mit einer negativen Zahl multipliziert wird.)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \leq 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \geq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ x|x < 0\right\}=(-\infty,0) \end{eqnarray*}$

Frage:
Warum ist die Lösungsmenge von Fall 2 nicht gleich mit der in Fall 1, obwohl als Ergebnis das selbe rauskommt ?

Nur weil man davon ausgeht das x<0 ist ?
aber Warum ?

04.12.2012, 08:48

Mystic

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Der Fall 2 geht anders, denn für x<0 ist ja

$\begin{eqnarray*} \frac 1x \le 4 \end{eqnarray*}$

trivialerweise erfüllt...

04.12.2012, 09:10

Huette

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Aber....
wenn man davon ausgeht, das x<0 ist, ist x doch negativ. Dann muss man doch bei der Multiplikation mit x < duch > ersetzen ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \leq 4 |*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \geq 4x |:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \geq x \end{eqnarray*}$

ist das korrekt ?

Das heisst die Lösungsmenge für x<0 ist

$\begin{eqnarray*} L=\left\{x|x\leq \frac{1}{4}\right\}=(-\infty,\frac{1}{4}] \end{eqnarray*}$ ?

Was wiederrum bedeutet:

$\begin{eqnarray*} L=L_1 \cup L_2 =\left\{x|x\leq \frac{1}{4} oder x\geq \frac{1}{4} \right\} \end{eqnarray*}$

???

04.12.2012, 09:58

Mystic

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RE: Ungleichung Lösungsmengen

Zitat:

Original von Huette
Aber....
wenn man davon ausgeht, das x<0 ist, ist x doch negativ. Dann muss man doch bei der Multiplikation mit x < duch > ersetzen ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \leq 4 |*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \geq 4x |:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \geq x \end{eqnarray*}$

ist das korrekt ?

Ja, aber hast du in der Folge die wichtige Vorausetzung x<0 ganz vergessen? geschockt

geschockt

Was ergibt also die Kombination von $\begin{eqnarray*} x\le \frac 14 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x <0 \end{eqnarray*}$ ?

04.12.2012, 10:34

Huette

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
also Lösungsmenge ?

ich würde sagen

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ x|x\leq \frac{1}{4} \right\}=(-\infty,\frac{1}{4}] \end{eqnarray*}$

Die Schlussfolgerung, die ich daraus ziehen würde, wenn das richtig ist, was ich geschrieben habe ist, dass man schaut mit welcher zahl der Nenner Null wird, dann damit das Ergebnis der Ungleichung nach "Gewichtung" (ist das das richtige wort ?) beurteilt. denn:
$\begin{eqnarray*} x\leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ deckt ja auch x<0 ab.

Aber das Ganze gilt nur für die Bedingung x<0.

04.12.2012, 10:46

Mystic

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RE: Ungleichung Lösungsmengen

Zitat:

Original von Huette
denn:
$\begin{eqnarray*} x\leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ deckt ja auch x<0 ab.

Mann, oh Mann... unglücklich

unglücklich

Also wenn z.B. x=1/8 ist, dann wäre damit x<0 deiner Meinung nach automatisch miterfüllt... geschockt

geschockt

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04.12.2012, 11:08

Huette

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Argh ich bin sö blöd.

Mein Zahlenstrahl sagt mir folgendes:

für x>0

$\begin{eqnarray*} L_1=\left\{x|x\geq \frac{1}{4} \right\} =(\infty,\frac{1}{4}] \end{eqnarray*}$

für x<0

$\begin{eqnarray*} L_2=\left\{x|x<0 \right\} =(-\infty) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L= \left\{x|x\geq \frac{1}{4} und x<0 \right\} \end{eqnarray*}$

wobei ich zwischen "und" und "oder" schwanke. Ich tendiere aber mehr zu und..

ist das jetzt so korrekt ?

04.12.2012, 11:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huette
$\begin{eqnarray*} L_1=\left\{x|x\geq \frac{1}{4} \right\} =(\infty,\frac{1}{4}] \end{eqnarray*}$

Es ist üblich, bei der Intervallschreibweise links die kleinere Zahl zu platzieren. Insofern solltest du hier besser

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{4},\infty\right) \end{eqnarray*}$

schreiben.

04.12.2012, 11:33

Huette

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ist das sonst richtig ?

04.12.2012, 11:42

Mystic

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RE: Ungleichung Lösungsmengen

Zitat:

Original von Huette
wobei ich zwischen "und" und "oder" schwanke. Ich tendiere aber mehr zu und..

ist das jetzt so korrekt ?

Ich tendiere mehr zu "oder"... Big Laugh

Big Laugh

(Oder kennst du Zahlen, die zugleich positiv und negativ sind? verwirrt

verwirrt

)

Eine alternative Schreibweise wäre übrigens $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus (0,\frac 14) \end{eqnarray*}$ ...

04.12.2012, 11:54

Huette

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Oh, natürlich.

Aber jetzt zu meiner Unrsprungsfrage.

Wie verwerte ich das Ergebnis der Ungleichung mit der Bedingung x<0 ?
Wenn mans normal berechnet, kommt ja x<0,25 raus. Was ja, wich ich mittlerweile auch gecheckt habe, nicht angehen kann ^^.

04.12.2012, 12:04

Mystic

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Noch einmal: Das Ergebnis $\begin{eqnarray*} x \le \frac 14 \end{eqnarray*}$ ist nur eine notwendige Bedingung... Du musst das kombinieren mit der generellen Voraussetzung x<0 und dann ist der Bereich $\begin{eqnarray*} (0,\frac 14] \end{eqnarray*}$ hier im 2.Fall nicht zulässig...

04.12.2012, 12:06

Huette

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Das wars, was ich sehen wollte. Vielen Dank für deine starken Nerven ^^

04.12.2012, 12:09

Mystic

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Gern geschehen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kommt übrigens selten vor, dass jemand mich für meine Geduld belobigt... Big Laugh

Big Laugh

04.12.2012, 13:09

Huette

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Das muss dann für folgende Aufgabe ausnutzen: :-D .-D
gegeben sei folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x-4}{x+5}<1 (x\neq -5) \end{eqnarray*}$

für x<-5 gilt:

$\begin{eqnarray*} x>9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\left\{\right\} \end{eqnarray*}$
Warum ist die Lösungsmenge leer ?

für x>-5 gilt:

$\begin{eqnarray*} x<9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\left\{x|-5<x<9\right\} \end{eqnarray*}$

Zu Fall x<-5 :
Mein Zahlenstrahl sagt mir, das der Mögliche Intervall für x von -5 bis 9 geht.
Wie bewerte ich rechnerisch die Ergebnisse bei dem Fall x<-5 ?
Die notwendige bedingung ist ja x<-5 und das Ergebnis ist x>9 ?
ich würde jetzt denken, wie bei der Aufgabe zuvor, dass auch alles kleiner als -5 für x einsetzbar ist. Dem ist aber offensichtlich nicht so.

04.12.2012, 13:32

Mystic

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RE: Ungleichung Lösungsmengen

Zitat:

Original von Huette
für x<-5 gilt:

$\begin{eqnarray*} x>9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\left\{\right\} \end{eqnarray*}$
Warum ist die Lösungsmenge leer ?

Weil sich diese Bedingungen widersprechen... Es gibt halt keine reellen Zahlen x, die gleichzeitig x>9 und x<-5 erfüllen, oder siehst du das anders? verwirrt

verwirrt

04.12.2012, 13:55

Huette

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Aber in der Aufgabe zuvor wiedersprachen sich die Bedingungen auch und doch hatten wir eine Lösungsmenge. Irgendwo ist bei mir noch ein Knoten.

04.12.2012, 14:24

Mystic

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Nein, zuvor widersprachen sie sich nicht... Es gab, da nämlich im 2.Fall zwei Vorschriften, nämlich

(1) $\begin{eqnarray*} x \le \frac 14 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} x <0 \end{eqnarray*}$

Wovon die zweite strenger ist, also nahmen wir die...

Das ist so, als wenn die Mutter sagt, der Teenager muss um 10 Uhr abends zuhause sein, der Vater wäre auch mit 11 Uhr zufrieden... Diese beiden Vorschriften widersprechen sich nicht, denn wenn der Teenager um 10 Uhr zuhause ist, hat er doch beiden Genüge getan... Big Laugh

Big Laugh

04.12.2012, 14:26

Huette

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Okay,
mit der Information wage ich mich mal in eine weitere Aufgabe.

04.12.2012, 15:14

Huette

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Also gegeben sei folgende Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{4x-5}{2x+8}<12 (x\neq -4) \end{eqnarray*}$

Bedingung: (x<-4)
Ergebnis: x<-5,05

Hier sagen Muddi und Vaddi das selbe. Also nehme ich die x<-4 die Muddi ist strenger. sprich:

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ x|x<-4\right\}=(-\infty,-4) \end{eqnarray*}$

Bedingung: (x>-4)
Ergebnis: x>-5,05

Auch hier sagen Muddi und Vaddi das selbe. Also nehme ich die x>-4 die Muddi ist strenger. sprich:

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ x|x>-4\right\}=(-4,\infty) \end{eqnarray*}$

das macht zusammen:

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ x|-4>x>-4\right\} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, das ist richtig.

04.12.2012, 18:57

Tesserakt

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
$\begin{eqnarray*} \forall a \in \mathbb R: (a,a) = \emptyset \end{eqnarray*}$

Ich kenne keine Zahl, die zwischen $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$ liegt und zudem noch von $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$ verschieden ist.

Auch wenn ich nun einen alten Thread hervorgeholt habe; dies sollte nur angemerkt sein.

04.12.2012, 19:05

Mystic

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RE: Ungleichung Lösungsmengen
Das ist richtig beobachtet... Freude

Freude

Zitat:

Original von Tesserakt
Auch wenn ich nun einen alten Thread hervorgeholt habe; dies sollte nur angemerkt sein.

Du hast aber keinen alten Thread hervorgeholt, wie kommst du auf diese Idee? verwirrt

verwirrt

04.12.2012, 19:10

Tesserakt

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RE: Ungleichung Lösungsmengen

Zitat:

Original von Mystic

Du hast aber keinen alten Thread hervorgeholt, wie kommst du auf diese Idee? verwirrt

verwirrt

Ich bezweifle, dass seitens des Fragestellers noch ein Interesse für die Auflösung des Problems besteht.

Falls doch, dann ein Tipp: Bei Fall 1 ergibt sich $\begin{eqnarray*} x < -5.05 \wedge x < -4 \end{eqnarray*}$ . Was gilt somit für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Ist die Aussage wirklich für alle $\begin{eqnarray*} x < -4 \end{eqnarray*}$ erfüllt?

04.12.2012, 19:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huette
Bedingung: (x<-4)
Ergebnis: x<-5,05

Hier sagen Muddi und Vaddi das selbe. Also nehme ich die x<-4 die Muddi ist strenger.

Du irrst: Die strengere Aussage ist x<-5,05 . unglücklich

unglücklich

04.12.2012, 19:54

Huette

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Natürlich habe ich Interesse. Ich würde die Thematik gerne verstehen.
Warum ist x<-5,05 strenger ?
Warum sollte das nicht für alle x gelten ?

04.12.2012, 20:00

Tesserakt

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Zitat:

Original von Huette
Warum ?

$\begin{eqnarray*} -5.05 < -4 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.12.2012, 20:02

Huette

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Das -5,05 < -4 weiß ich auch.
Gibt es da ne Grundsätzliche Regel was strenger ist ? immer das kleine ? immer das Größte ? die notwendige Bedingung ? Das Ergebnis der Ungleichung ?

04.12.2012, 20:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huette
Das -5,05 < -4 weiß ich auch.

Aber du weißt es nicht anzuwenden, also lass besser solche altklugen Reaktionen. unglücklich

unglücklich

Tatsächlich geht es um den Durchschnitt der zugehörigen Mengen, hier Intervalle

$\begin{eqnarray*} (-\infty,-5.05) \cap (-\infty,-4) = (-\infty,-5.05) \end{eqnarray*}$ .

Mal es dir auf dem Zahlenstrahl auf, wenn du es so nicht siehst.

04.12.2012, 20:13

Huette

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Das Beantwortet nicht wirklich meine Frage.

Ich möchte wissen, wenn ich einen Fall betrache, Welche Aussage warum strenger ist. Die Der Angenommenen Aussage x<-4 oder die Aussage bzw. das Ergebnis der Ungleichung x<-5,05 und warum ?

Mir ist durchaus bewusst, dass aus den Lösungsmengen der hier 2 Fälle die Vereinigungsmenge gebildet wird. Dies kann ich aber nicht, wenn ich bei der Fallannahme eine Falsche aussage nehme.

04.12.2012, 20:19

HAL 9000

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Ich rede nicht von Vereinigungsmenge, sondern von Durchschnittmenge, und zwar Durschnitt aus der Fallbedingungsmenge und im Fall erhaltenenen Ungleichungslösungsmenge - du verwechselst aber auch alles. Ich empfehle mal: Gründlich lesen.

04.12.2012, 20:25

Huette

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Wenn ich das was hier in den Büchern steht, verstehen würde, würde ich nicht Fragen. Offensichtlich komme ich hier zu keinem Ergebnis. Vielleicht ist die Lösung meines Problems auch so banal, das mich keiner versteht oder ich bin so dämlich und verstehe euch nicht. Vermutlich das letztere. Ob nun
Durchschnittsmenge oder was auch immer. Die Antworten gehen irgendwie an meiner Frage vorbei.
Trotzdem vielen Dank.

04.12.2012, 20:35

HAL 9000

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Ich hab's ja auch einfacher formuliert

Zitat:

Original von HAL 9000
Mal es dir auf dem Zahlenstrahl auf, wenn du es so nicht siehst.

aber das passt dir ja anscheinend auch nicht. Bei so einer Verweigerungshaltung weiß ich dann auch nicht weiter zu helfen.

04.12.2012, 20:59

Huette

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Galub mir, ich würde es gerne verstehen, aber was soll ich sehen, wenn ich die Bedingung x<-4 und das Ergebnis x<-5,05 der Ungleichung für den Fall x<-5 auf den Zahlenstrahl zeichne ?

Ich sehe das im Minusbereich die eine Aussage die andere überschneidet...

04.12.2012, 21:02

HAL 9000

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Beide Bedingungen müssen erfüllt sein, also ist (pro Fall) nur der Bereich in der Lösungsmenge, der zu beiden Intervallen gehört, was man in der Mengenlehre dann eben als Durchschnitt bezeichnet.

04.12.2012, 21:19

Huette

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sehe ich anhand des Zahlenstrahls, warum -5,05 nun strenger ist ?

okay, dann ist also für den Fall
x>-4

$\begin{eqnarray*} (-5.05,\infty)\cap (-4, \infty)=(-4, \infty) \end{eqnarray*}$ ?

Warum wird in der angehängten aufgabe die Vereinigungsmenge gebildet ?

Wovan hängt das ab, welche Bedingungen man an die Lösungsmenge stellt ? - Wahrscheinlich anhand der Ergebnisse, die man bekommt ?

04.12.2012, 21:31

HAL 9000

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Die Vereinigungsmenge kommt dann zur Anwendung, wenn die in den einzelnen Fällen erzielten Teil-Lösungsmengen zu einem Endergebnis der Aufgabe gebündelt werden.

04.12.2012, 21:34

Huette

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Die Vereinigungsmenge ist doch dann

(x<-4 oder x>-5,05) ?

Die Durchschnittsmenge kann ich doch nur bilden, wenn beide Bedingungen des Falls wahr sind ?

04.12.2012, 21:48

Mystic

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Für die Vereinigungsmenge musst du von zwei Teilaussagen, von denen eine stärker und die andere daher schwächer ist, die schwächere nehmen, das wäre also hier dann x <-4...

Für die Durchschnittsmenge musst du von zwei Teilaussagen, von denen eine stärker und die andere daher schwächer ist, die stärkere nehmen, das wäre also hier dann x <-5.05...

05.12.2012, 09:27

Huette

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, diese aufgabe ist nun richtig...

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