Bilder von Vektoren bestimmen |
| 04.12.2012, 09:59 | Sasu132 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bilder von Vektoren bestimmen Hallo, ich weiß bei einer Aufgabe unseres derzeitigen Übungsblattes für lineare Algebra einfach nicht weiter. Den Rest der Aufgaben konnte ich ohne Probleme lösen, nur bei der Teilaufgabe 2d) weiß ich überhaupt nicht wie ich anfangen soll ... Ich würde mich über Tipps sehr freuen! Viele Dank schonmal 
Meine Ideen: Also z1 = (y1 - y2 + 2y3 + y4 + y5) + (-y1 - y2 - y4 - 2y5) = -2y2 + 2y3 - y5 und z2 = (y1 - y2 + 2y3 + y4 + y5) + 2*(-y1 - y2 - y4 - 2y5) + 3*(2y1 + y3 + y4 + 3y5) = y1 - y2 + 2y3 + y4 + y5 - 2y1 - 2y2 - 2y4 - 4y5 + 6y1 + 3y3 + 3y4 + 9y5 = 5y1 + 5y3 + 2y4 + 6y5 und was mache ich jetzt damit? Das LGS der Basen habe ich auch schon aufgelöst. |
||||
| 04.12.2012, 17:56 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2d) ist so simpel wie nur irgend möglich, denn f ist linear, also z.B. f(z1)=f(x1+x2)=f(x1)+f(x2). Genau so hast Du f(z1) und f(z2) berechnet, d.h. Du bist fertig.
Du darfst nur nicht z1 und z2 schreiben anstelle von f(z1) und f(z2). 
Nachtrag: Das Bild besteht aus 2 Vektoren, also hat der davon erzeugte Vektorraum die Dimension 1 oder 2. Wähle weise und begründe Deine Entscheidung. 
|
||||
| 04.12.2012, 20:20 | Sasu132 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also bin ich schon fertig mit dem was ich gemacht habe? und was ist mit der linearen hülle??? weiß nicht, wie ich das aufschreiben soll. nochmal eine andere frage
wie berechne ich den rang ohne die dim(ker(f)) ?habe vorher immer die dim zuerst berechnet und dann ist der rang ja leicht ... aber ich glaube so ist das nicht gemeint in der aufgabe
|
||||
| 04.12.2012, 20:23 | Sasu132 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also f(z1) = -2y2 + 2y3 - y5 f(z2) = 5y1 + 5y3 + 2y4 + 6y5 ??? welche beiden vektoren bilden denn die bilder von f? verstehe das nicht mit den bildern
wäre nett wenn du das erklären könntest |
||||
| 05.12.2012, 13:45 | Sasu132 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
???
|
||||
| 05.12.2012, 18:27 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
{y1,...,y5} ist eine Basis des 5-dimensionalen Vektorraumes W. Die beiden Vektoren f(z1) und f(z2) sind die Bilder von z1 und z2. Wenn sie linear abhängig sind, ist ihre lineare Hülle 1-dimensional, sonst 2-dimensional. Linear abhängig heißt af(z2)+bf(z1)=0 mit ab ungleich 0. 5a=0 (wegen y1), -2b=0 (wegen y2), 2a=0 (wegen y4), also gibt es 3 gute Gründe für ab=0, also linear unabhängig, also Dimension 2. |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 05.12.2012, 18:37 | Sasu132 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also sind f(z1) = -2y2 + 2y3 - y5 f(z2) = 5y1 + 5y3 + 2y4 + 6y5 die geforderten bilder von z1 = x1 + x2 und z2 = x1 + 2x2 + 3x3 und die dimension von lin(f(z1)), f(z2)) = 2 habe ich das richtig verstanden? gibts es dafür ein lemma oder einen satz?
|
||||
| 06.12.2012, 17:51 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. alles richtig verstanden. 2. Nein, es gibt keinen Satz, das kann man einfach so ausrechnen, man benutzt dafür den Gaußschen Algorithmus. Völlig klar ist (mir), dass die lineare Hülle von n Vektoren die Dimension maximal n hat (also genau zwischen 0 und n). |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
