Berechnen Sie alle Lösungen der Differenzialgleichungen

04.12.2012, 13:50

Theend9219

Berechnen Sie alle Lösungen der Differenzialgleichungen

Liebes Matheboard, folgende Aufgabe:

Wie der Titel schon sagt, gilt es alle Lösungen der Differenzialgleichungen zu bestimmen.

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{2y(y-1)}{t(2-y)} \end{eqnarray*}$

Kann mir einen einen Anstoß geben wie ich vorgehen muss?

LG

04.12.2012, 19:22

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Führe eine Variablentrennung durch Augenzwinkern

.
Partialbruchzerlegung kann bei der Integration hilfreich sein.

04.12.2012, 20:44

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würde jetzt wiefolgt vorgehen

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} = \frac{2y(y-1)}{t(2-y)} \end{eqnarray*}$

nun stelle ich um

$\begin{eqnarray*} 2y(y-1)*dt = t(2-y)*dy \end{eqnarray*}$
formuliere das Integral

$\begin{eqnarray*} 2y \int \! (y-1) \, dt = t \int \! (2-y) \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(2y -\frac{y^2}{2}+c_{2})=2y(t(y-1)+c_{1}) \end{eqnarray*}$

Nun noch nach y umstellen und ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} y_{1}= \frac{4t -\sqrt{2} \sqrt{t(5c+8t)}}{5t} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} y_{1}= \frac{4t +\sqrt{2} \sqrt{t(5c+8t)}}{5t} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig??

04.12.2012, 21:41

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Variablentrennung funktioniert nur, wenn die Variablen auf jeder Seite isoliert sind.
Du integrierst rechts über y, hast aber noch ein t drin, wie du links über t integrierst, obwohl
da noch ein y drin steht.

Seprariere sauber, so dass rechts nur noch die Variable t steht und links y Augenzwinkern

04.12.2012, 21:45

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich denn das y und das t nach dem ausmultiplizieren vor dem integrieren einfach auf die rechte bzw linke seite bringen und dann integrieren ?

04.12.2012, 21:47

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Solange du es vor dem Integrieren machst, kannst du das gerne tun.
Ich würde allerdings nicht ausmultiplizieren um zu sortieren.

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} = \frac{2y(y-1)}{t(2-y)} \end{eqnarray*}$

Hier sieht man doch sehr schön, wie man es schafft alles mit y nach links zu schaffen Augenzwinkern

04.12.2012, 21:55

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Solange du es vor dem Integrieren machst, kannst du das gerne tun.
Ich würde allerdings nicht ausmultiplizieren um zu sortieren.

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} = \frac{2y(y-1)}{t(2-y)} \end{eqnarray*}$

Hier sieht man doch sehr schön, wie man es schafft alles mit y nach links zu schaffen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 2y(y-1)*dt=t(2-y)*dy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2y(y-1)}{dy}=\frac{t(2-y)}{dt} \end{eqnarray*}$ so ?

04.12.2012, 21:59

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Teil ist in Ordnung.

$\begin{eqnarray*} 2y(y-1)*dt=t(2-y)*dy \end{eqnarray*}$

Was du danach machst wollen und brauchen wir nicht.
Dir ist schon bewusst, dass gilt: $\begin{eqnarray*} t(2-y)=t\cdot(2-y) \end{eqnarray*}$ verwirrt

04.12.2012, 22:04

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist mir bewusst . ja und nun bilde ich das Integral was ich ja am Anfang schon gemacht habe und dann bekomm ich ja das gliche wieder

danke für deine hilfestellungen schonmal

04.12.2012, 22:17

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Integral das zu Beginn gebildet hast, vergessen wir am besten gleich wieder.
Wie ich schon erwähnte, passt das nicht so. Da sind ein wenig die y und t durcheinander geraten.

Bring doch noch die 2-y nach links.
Wenn du dann noch dt nach rechts bringst, hast du die Variablen wunderschön separiert...
Links stehen die y alleine und rechts die t. So solls sein!
Dann integrieren Augenzwinkern

04.12.2012, 22:22

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{2y(y-1)}{2-y}=\frac{t*dy}{dt} \end{eqnarray*}$

so ?

04.12.2012, 22:28

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

^^ Du machsts dir aber schwer.
Das dy noch nach links...erst dann haben wir doch alle y links!

Da wir integrieren wollen, müssen wir auch noch den Kehrbruch nehmen.

Eigentlich ganz einfach. Schau mal her:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} = \frac{2y(y-1)}{t(2-y)}~|\cdot dt\quad \cdot \frac{2-y}{2y(y-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2-y}{2y(y-1)}dy = \frac{1}{t}dt \end{eqnarray*}$

Klar? Augenzwinkern

04.12.2012, 22:29

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

lach ja jetzt ist es klar -manchmal steht mam halt auf dem Schlauch hihi daaanke nun integrale aufstellen und ausrechnen? nach dem prinzip das ich "falsch"anwendete aber halt nach dem Schema?

04.12.2012, 22:32

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine obere Integration kann ich nicht nachvollziehen :P.
Am besten du zeigst es mal Augenzwinkern

04.12.2012, 22:38

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2-y}{2y(y-1)} \, dy = \int \! \frac{1}{t} \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} (log(1-y)-2log(y)+c)=log(t)+d \end{eqnarray*}$

c und d sind jeweils konstanten

04.12.2012, 22:42

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sehr schön Freude

.
Dann löse mal nach y auf.

Übrigens reicht es mir, wenn du nur eine Integrationskonstante schreibst. Es ist zwar richtig, dass
da zwei ins Spiel kommen, aber allgemein üblich ist, diese zu einer zusammenzufassen Augenzwinkern

04.12.2012, 23:00

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

ich komm nicht drauf die logarithmen bereiten mir schwierigkeiten .. kannst du mir helfen?

04.12.2012, 23:03

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, multiplizieren wir erst mal mit 2 und bringen das c auch gleich auf die andere Seite.

$\begin{eqnarray*} ln(1-y)-2ln(y)=2ln(t)+e \end{eqnarray*}$

Der Schritt ist klar, oder?

Nun wenden wir zwei Logarithmengesetze an:
$\begin{eqnarray*} 1. log(a^n)=n\cdot log(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. log(a/b)=log(a)-log(b) \end{eqnarray*}$

Probier es mal selbst, die linke Seite zu vereinfachen Augenzwinkern

04.12.2012, 23:12

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

okay daaaanke

also
$\begin{eqnarray*} y=\frac{ e^{-e} (-\sqrt{4e^{e}t^2 +1}-1)}{2t^2} \end{eqnarray*}$

04.12.2012, 23:22

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hattest doch die Mitternachtsformel angewandt. Es fehlt also noch die zweite Lösung.
Sonst aber müssts passen, wenn ich das richtig sehe (wie ich ebenfalls sehe, war "e" keine
glückliche Wahl der Konstanten^^).

04.12.2012, 23:23

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt hihi ja stimmt vor die wurzel kommt bei der zweiten lösung noch ein -

04.12.2012, 23:23

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

bin ich nun fertig mit der aufgabe?

04.12.2012, 23:25

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir vielleicht noch sagen wie ich die dgl skizzieren kann ?

04.12.2012, 23:33

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist fertig, ja.
Wir haben die allgemeine Lösung der DGL gefunden.

Skizzieren? Nimm ein beliebiges c und zeichne eine der Kurven der Kurvenschar.

04.12.2012, 23:37

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

also nehm ich eine der beiden lösungen setze für c( bei uns ja e) einen Wert ein und zeichne?

04.12.2012, 23:43

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein habe ich sowas noch nie gezeichnet :P.
Und da du keine genaue Aufgabenstellung dazu hast, vermute ich, dass es so ist, wie du gerade sagst Augenzwinkern

.

(Wobei du beide Lösungen nehmen solltest)

04.12.2012, 23:47

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

ich lass das morgen von maple zeichnen hihi das kann das ordentlicher wie ich Big Laugh

ich danke dir für deine tolle Hilfe ..bist du mathestudent?

04.12.2012, 23:48

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder so^^.

Ja gerne smile

,
Und um dich zu beruhigen, nein ich bein kein Mathestudent Augenzwinkern

04.12.2012, 23:49

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

was dann? mathegenie? oder fertiger student?^^

04.12.2012, 23:51

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Weder noch Augenzwinkern

.
Ich gebe mich ganz der Physik hin :P.
Da geht Mathe mit links (*Kopf einzieh vor den Mathematikern, die das Lesen*).

05.12.2012, 11:38

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Die Aufgabe ist fertig, ja.
Wir haben die allgemeine Lösung der DGL gefunden.

Nein, die Aufgabe ist nicht fertig.
Es sollten doch alle Lösungen gefunden werden. Dazu gehören neben der allgemeinen Lösung aber noch die singulären Lösungen, falls es solche gibt. Und hier gibt es singuläre Lösungen.

05.12.2012, 11:48

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

was sind denn singuläre Lösungen .. hab ich nocj nie gehört

05.12.2012, 11:55

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du dich mal schlau machen. Es würde zu weit führen, singuläre Lösungen hier allgemein zu diskutieren.

Bei deinem Beispiel sind sie leicht zu sehen. Schau dir mal die Schritte bei der Trennung der Variablen an. Da können unzulässige Operationen auftreten. Die Bedingungen, bei denen unzulässige Operationen auftreten, führen hier direkt zu den singulären Lösungen.

05.12.2012, 12:00

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

okay y darf nicht kleiner als 1 sein sonst wird das integral negativ und das ist ja bekanntlich weniger definiert

05.12.2012, 12:04

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte etwas anderes, nämlich die Operationen vor dem Integrieren. Man dividiert doch durch y und durch y - 1, um alle y auf die linke Seite zu bringen. Das darf man aber nicht für y = 0 und für y = 1.

Und nun prüfe mal, ob die Funktionen y = 0 und y = 1 die DGL erfüllen.

05.12.2012, 13:44

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Von denen hab ich auch noch nie gehört verwirrt

.
(Gerade mal nachgeschlagen)
Dabei arbeite ich schon recht lange mit DGLs geschockt

.

Danke fürs Aufpassen Freude

05.12.2012, 14:26

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Inzwischen ist mir aufgefallen, dass auch die allgemeine Lösung noch nicht vollständig ist.

05.12.2012, 14:47

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist daran nicht vollständig.. Danke schon mal für deine Antworten

05.12.2012, 15:11

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind ja folgende Integrale zu bilden:

$\begin{eqnarray*} \int \frac {dy}{y} \quad \int \frac {dy}{y-1} \quad \int \frac {dt}{t} \end{eqnarray*}$

Dabei muss man beachten, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \int \frac {dx}{x}= ln |x| \end{eqnarray*}$

Wenn man schreibt,

$\begin{eqnarray*} \int\frac {dx}{x}= \ln x \end{eqnarray*}$

so ist das nur für x > 0 richtig. Man muss also beim Integrieren eine Fallunterscheidung machen. Zum Glück wirkt sich die nur bei

$\begin{eqnarray*} \int\frac {dy}{y-1} \end{eqnarray*}$

aus, da die anderen Terme später quadriert auftreten und dann das Vorzeichen keine Rolle spielt.

Auch solltest du deine Rechnung noch mal sauber aufschreiben. Mir scheint, du bist durch einen Vorzeichenfehler zur 'falschen' richtigen Lösung gelangt.

05.12.2012, 15:34

Theend9219

Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann habe ich ja

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y-1} = \frac{2y(y-1)dt}{t(2-y)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{t} = \frac{2-y}{2y(y-1)}*dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{dy}{y} = \frac{2dt(y-1)}{2-y} \end{eqnarray*}$

Und von diesen jetzt jeweils das Integral berechnen?

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Berechnen Sie alle Lösungen der Differenzialgleichungen

Verwandte Themen