Lineare Unabhängikeit

04.12.2012, 21:32

MatheMan92

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Lineare Unabhängikeit

Aufgabe im Anhang.

Soooo, ich hatte da eine ganz lustige Idee (wann jetzt eine Menge von Vektoren linear unabhängig ist weiß ich), und zwar hab ich mir gedacht, dass ich die Gleichung einfach solange mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ erweitere, bis nur noch

$\begin{eqnarray*} cf^n(v) \end{eqnarray*}$ übrig bleibt. (weil ja $\begin{eqnarray*} f^{n+1}(v)=0 \end{eqnarray*}$ fällt ja immer das letzte Glied weg).

Und weil $\begin{eqnarray*} f^n(v)\neq 0 \end{eqnarray*}$ muss gelten: $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ .

Geht das? Darf man einfach beliebig oft mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ erweitern? Wenn ja, wie schreibe ich den Vorgang korrekt auf?

04.12.2012, 21:56

MatheMan92

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RE: Lineare Unabhängikeit
Wenn meine "Idee" nämlich falsch ist bräuchte ich einen Denkanstoß :P

04.12.2012, 23:09

MatheMan92

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RE: Lineare Unabhängikeit
keiner? :P

04.12.2012, 23:49

Theend9219

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RE: Lineare Unabhängikeit
lässt sich das als linearkombination schreiben?

04.12.2012, 23:58

liebe_Maus

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Ich bin auch gerade in der selben Aufgabe. Ich hab auch noch nichts dazu, aber ich dachte mir vielleicht geht das durch ein Widerspruchsbeweis zu zeigen. Das heißt, du nimmst an das die Vektoren linear abhängig sind und zeigst dann das daraus folgt v=0.

Vielleicht können wir ja aber zusammen daran tüfteln :-)

05.12.2012, 00:10

liebe_Maus

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Das würde heißen, das folgende LK gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{0}\cdot v + \sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}\cdot f^{k} (v) = 0 \end{eqnarray*}$
wobei mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_{i}\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

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05.12.2012, 00:13

MatheMan9222

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Iwi mags mich nicht mehr anmelden :P

Wenn du zeigen willst, dass $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ sein müsste, müsste definiert sein, dass $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist.
Die Frage ist ja, ob die Funktionen additiv Inverse bilden, sich also ohne $\begin{eqnarray*} c\in K \end{eqnarray*}$ als skalare Faktoren mit $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ "wegsubtrahieren".

Mein Gedanke war ja, dass man mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ erweitert, sodass immer das letzte Glied in der Kette wegfällt. Aber da hat mir sich ja die Frage gestellt, ob man das darf.

05.12.2012, 00:21

liebe_Maus

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Bei mir meldet sich das auch dauernd ab.

Wenn v=0 ist, muss nicht folgen das $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Falls ja, dann untermauert es ja den Widerspruchsbeweis um zu stärker.

Dein Ansatz funktioniert leider weniger, da du Lin. unabh. durch eine Linearkombination zeigen muss die null ergibt und gleichzeitig all ihre Skalare Null ist, deshalb auch der Tipp von den guten Mann da oben!

05.12.2012, 00:23

liebe_Maus

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also $\begin{eqnarray*} \lambda_{0}\cdot v + \sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}\cdot f^{k} (v) = 0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \lambda_{0}=...=\lambda_{n}=0 \end{eqnarray*}$

05.12.2012, 00:23

MatheMan92

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Ok, deswegen war es ja auch nur ein Gedanke Big Laugh

Big Laugh

Und warum muss deiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ sein? Da konnt ich nicht so ganz folgen.

Edit:
Ja die Summe ist richtig, wobei für $\begin{eqnarray*} k=n \end{eqnarray*}$ eben schonmal nicht Null rauskommt, deshalb das zugehörige Lambda Null sein muss (wie schreibst du das Lambda?)

05.12.2012, 00:29

liebe_Maus

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Du nimmst einfach an das die Vorraussetzung einfach wahr ist und nimmst weiterhin an das $\begin{eqnarray*} \lambda_{0}\cdot v + \sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}\cdot f^{k} (v) = 0 \end{eqnarray*}$ linear abhängig ( Struktur eines Widerspruchsbeweis) und anschließend folgen wir irgendetwas, was eine Aussage der Vorraussetzung verletzt, also in meinem Beispiel $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ . Aber es kann auch irgendetwas anderes sein wie zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ , was auch dann ein Widerspruch zur Vorraussetzung wäre. Soo jetzt mal die Idee!

05.12.2012, 00:31

liebe_Maus

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Noch forme ich ein bisschen um, um ein Logik Riss zu finden, aber bisher will sich nichts finden lassen. Schau mal an ob du ein Logikriss finden tust!

05.12.2012, 00:37

liebe_Maus

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Zitat:

Original von MatheMan92

Edit:
Ja die Summe ist richtig, wobei für $\begin{eqnarray*} k=n \end{eqnarray*}$ eben schonmal nicht Null rauskommt, deshalb das zugehörige Lambda Null sein muss (wie schreibst du das Lambda?)

Sry, hab dein Edit überlesen.

Zum Lambda: \lambda_{i}

Zur deiner Idee: Das hört sich gut an, aber du bezieht dich auf der Lineare Unabhängigkeit oder auf der Lineare Lineare abhängigkeit?

05.12.2012, 00:41

MatheMan92

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Wenn die unabhängig sind wissen wir schonmal, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_{0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{n} \end{eqnarray*}$ gleich Null sein müssen, weil $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^n \end{eqnarray*}$ es eben nicht sind. Also hat jetzt nichts zu deinem Widerspruch beigetragen Big Laugh

Big Laugh

05.12.2012, 00:50

liebe_Maus

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Hört sich hübsch an, wenn wir annehmen dürfen das es lin. unabh ist.
Ich probiere mich mal mit deinem Ansatz aus und meld mich gleich wieder!
Ich denk aber ich hätte dazu eine Idee!

05.12.2012, 01:21

liebe_Maus

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Meine Idee:
Wie wäre es mit Induktion über n!
für n=1 stimmt es.
Der haken ist ist nur für n+1, da dann das $\begin{eqnarray*} f^n+1(v)= 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Aber wenn wir unsere Induktion über n-1 machen und dann auf n schließen würde es doch eigentlich gehen da $\begin{eqnarray*} f^n(v)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, oder wie siehst du das?

05.12.2012, 01:28

MatheMan92

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Meinst du jetzt für deinen Widerspruchsansatz?

05.12.2012, 01:30

liebe_Maus

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Wir können aber auch einfach dreist sein und machen unsere Induktion genauso, wie es passt und
zwar wir schließen von n-1 auf n und dann hätten wir den Beweis auch fertig. Damit wären wir auch dann das Problem mit den $\begin{eqnarray*} f^(n+1)(v)= 0 \end{eqnarray*}$ umgangen!

05.12.2012, 01:34

liebe_Maus

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Zitat:

Original von MatheMan92
Meinst du jetzt für deinen Widerspruchsansatz?

Ich meine direkt.

für n=0 erhalten wir $\begin{eqnarray*} \lambda_{0}=0 \end{eqnarray*}$ , wobei wir $\begin{eqnarray*} f^{0}(v)= v \end{eqnarray*}$ definieren

05.12.2012, 01:34

MatheMan92

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Du meinst, dass wenn wir als Beispiel $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ steht ja dann $\begin{eqnarray*} \lambda_{0}v+\lambda_{1}f^1(v)=0 \end{eqnarray*}$ und wie willst du das Beispiel über $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ führen, sodass wir nicht mit dem $\begin{eqnarray*} n+1 = 0 \end{eqnarray*}$ ins Gehege kommen?

05.12.2012, 01:45

MatheMan92

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Ich denk die ganze Zeit über die Basis von Polynomen nach, die sieht ja ähnlich aus:

$\begin{eqnarray*} \left\{1,x,x^2,..,x^n\right\} \end{eqnarray*}$

Hast du eigtl die Aufgabe 28 schon?

05.12.2012, 01:45

liebe_Maus

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Untersuchen wir mal unsere Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \lambda_{k}\cdot f^{k} (v) = 0 \end{eqnarray*}$ auf lineare UNabhängigkeit, wobei wir definieren $\begin{eqnarray*} f^{0}(v)= v \end{eqnarray*}$

IA: n=0
ist klar, da $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$
IV:n-1
Sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \lambda_{k}\cdot f^{k} (v) = 0 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig für ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
IS: n
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \lambda_{k}\cdot f^{k} (v) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^{n-1} \lambda_{k}\cdot f^{k} (v) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \lambda_{n}\cdot f^n(v)=0 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} f^n(v)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist folgt daraus das $\begin{eqnarray*} \lambda_{n}=0 \end{eqnarray*}$ ist.
Also folgt mittels Induktion $\begin{eqnarray*} \lambda_{0}=...=\lambda_{n}=0 \end{eqnarray*}$
q.e.d

Das wäre so meine Idee. Was meinst du dazu?

05.12.2012, 01:49

liebe_Maus

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Zitat:

Original von MatheMan92
Ich denk die ganze Zeit über die Basis von Polynomen nach, die sieht ja ähnlich aus:

$\begin{eqnarray*} \left\{1,x,x^2,..,x^n\right\} \end{eqnarray*}$

Hast du eigtl die Aufgabe 28 schon?

Jo habe ich^^

Sag bescheid was du nicht hast, dann kannst du ja noch ergänzen^^

05.12.2012, 01:57

MatheMan92

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Ich verstehe wie du vorhast zu induzieren, aber wie kannst du einfach behaupten, dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1}\lambda_{k}f^k(v) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist?

Haha ;D ich hab die 28 noch garnicht

05.12.2012, 02:09

liebe_Maus

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Ich bin davon ausgegangen wenn man es für das ERSTE n geszeigt hat, dann kann man nach dem Prinzip der Induktion es auch für die Induktionsvorraussetzung festlegen, wobei es für die Induktionsvorraussetzung ebenso für EIN n-1 gilt.

Zur 28 wird das schwer alles hier zu schreiben, da es zu lang umfangreich sein wird. Aber ich kann dir morgen anbieten, von mir abzuschreiben. Sofern du aber Prinzipiel wissen willst, wie man das löst, dann kann ich dir das gerne erläutern.

05.12.2012, 02:14

MatheMan92

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Ok wir konnten es für ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zeigen, auf für ein $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ , jetzt is die Frage, ob das nicht nur Sonderfälle waren und ob man deswegen allgemein auf die Induktionsvorraussetzung schließen kann.

Zur 28, ja glaub ich, hatte aber noch so viel für Physik zu tun Big Laugh

Big Laugh

wann gibst du denn morgen früh ab? Gibst du eigtl mit jemandem zusammen ab?

05.12.2012, 02:25

RavenOnJ

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Zitat:

Original von liebe_Maus
Untersuchen wir mal unsere Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \lambda_{k}\cdot f^{k} (v) = 0 \end{eqnarray*}$ auf lineare UNabhängigkeit, wobei wir definieren $\begin{eqnarray*} f^{0}(v)= v \end{eqnarray*}$

IA: n=0
ist klar, da $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$
IV:n-1
Sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \lambda_{k}\cdot f^{k} (v) = 0 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig für ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
IS: n
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \lambda_{k}\cdot f^{k} (v) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^{n-1} \lambda_{k}\cdot f^{k} (v) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \lambda_{n}\cdot f^n(v)=0 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} f^n(v)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist folgt daraus das $\begin{eqnarray*} \lambda_{n}=0 \end{eqnarray*}$ ist.
Also folgt mittels Induktion $\begin{eqnarray*} \lambda_{0}=...=\lambda_{n}=0 \end{eqnarray*}$
q.e.

Möchte mich nicht unbedingt in eure Diskussion einmischen, aber so funktioniert es nicht. Das kannst du schon daran sehen, dass im Fall der linearen Unabhängigkeit von k Vektoren eines endlich-dimensionalen Vektorraums (Dimension > k+1, dies ist notwendige Bedingung, dass überhaupt k+1 Vektoren lin. unabh. sein können), auch k+1 unabhängig sein können, aber u.U. k+2 nicht mehr. Bei k und k+1 gibt es halt nur die trivialen Lösungen für die $\begin{align*} \lambda_i \end{align*}$ , bei k+2 plötzlich nicht-triviale.

Die Idee des 1. Post war allerdings ziemlich clever, wenn ich auch den Begriff "erweitern" in diesem Zusammenhang fehl am Platz finde. Ich würde eher sagen "f anwenden auf ..."

05.12.2012, 02:28

MatheMan92

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Hurraa, einer der was kann Big Laugh

Big Laugh

Was bedeutet es, wenn ich f anwende?

05.12.2012, 02:29

RavenOnJ

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verfolge deine eigene Idee aus dem 1. Post weiter. Wende f einmal an, zweimal usw. Ich denke, du kapierst die Idee.

05.12.2012, 02:32

liebe_Maus

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Zitat:

Original von MatheMan92
Ok wir konnten es für ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zeigen, auf für ein $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ , jetzt is die Frage, ob das nicht nur Sonderfälle waren und ob man deswegen allgemein auf die Induktionsvorraussetzung schließen kann.

Zur 28, ja glaub ich, hatte aber noch so viel für Physik zu tun Big Laugh

Big Laugh

wann gibst du denn morgen früh ab? Gibst du eigtl mit jemandem zusammen ab?

Ich gib mit einem Kumpel ab. Wir machen das zu viert. Mein Japsen Kumpel gibt morgen wahrscheinlich um 10 ab, aber ist schon kurz vor 9 in der Teilbib. Achte auf sein Japsengesicht. Er wird dann von mir bescheid wissen und du kannst dich dann von unseren gemeinsamen Lösungen inspirieren lassen ^^

Apropos zur Induktion! Im Grunde genommen kann es ein Sonderfall sein, aber bei einer Induktionsvorraussetzung haben wir es immer für Ein allgemeines n-1 angenommen und haben es dann beim Induktionsschluss für alle n gefolgert.

Edit: Sry, hab auch Post nicht gelesen. Wird mich schnell da durchlesen!

05.12.2012, 02:32

MatheMan92

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Ja ich verstehe was gemeint ist, aber ich kann mir grad unter "anwenden" nichts vorstellen, kann auch an der fortgeschrittenen Stunde liegen :P
Das Ziel war ja, dass immer ein f wegfällt. Aber ich hab keine Ahnung was du mit anwenden meinst :P

05.12.2012, 02:33

RavenOnJ

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Ich meine damit, f anwenden auf die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \lambda_i f^i(v) =0 \end{eqnarray*}$

womit ihr ja die lineare Unabhängigkeit zeigen wollt. Also

$\begin{eqnarray*} f(\sum_{i=0}^n \lambda_i f^i(v)) = f(0) = 0 \end{eqnarray*}$

usw.

05.12.2012, 02:39

RavenOnJ

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Zitat:

Original von liebe_Maus

Apropos zur Induktion! Im Grunde genommen kann es ein Sonderfall sein, aber bei einer Induktionsvorraussetzung haben wir es immer für Ein allgemeines n-1 angenommen und haben es dann beim Induktionsschluss für alle n gefolgert.

Das Problem bei Induktion ist hier, dass es für kleine n klappen kann, aber mit Sicherheit irgendwann für ein größeres n knallt, bei einem endlich-dimensionalen Vektorraum. Das nur so als heuristisches Argument. Induktion ist für so eine Aufgabe nicht anwendbar, da aus "wahr für n" nicht "wahr für n+1" folgt.

05.12.2012, 02:39

MatheMan92

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Achsoo, ja dann wird ja $\begin{eqnarray*} f^n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} f^{n+1} \end{eqnarray*}$ und fällt somit weg und es rückt das Vorgänger-f an die Stelle, dessen Lambda dann logisch =0 sein muss. Also war "erweitern" doch die richtige Idee, bloß falsch ausgedrückt?

05.12.2012, 02:40

liebe_Maus

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Zitat:

Original von RavenOnJ

$\begin{eqnarray*} f(\sum_{i=0}^n \lambda_i f^i(v)) = f(0) = 0 \end{eqnarray*}$

usw.

Irgendwie verstehe das nicht, da ja gemäß Vorraussetzung gilt: $\begin{eqnarray*} f(v) \neq 0 \end{eqnarray*}$

05.12.2012, 02:43

liebe_Maus

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Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von liebe_Maus

Apropos zur Induktion! Im Grunde genommen kann es ein Sonderfall sein, aber bei einer Induktionsvorraussetzung haben wir es immer für Ein allgemeines n-1 angenommen und haben es dann beim Induktionsschluss für alle n gefolgert.

Das Problem bei Induktion ist hier, dass es für kleine n klappen kann, aber mit Sicherheit irgendwann für ein größeres n knallt, bei einem endlich-dimensionalen Vektorraum. Das nur so als heuristisches Argument. Induktion ist für so eine Aufgabe nicht anwendbar, da aus "wahr für n" nicht "wahr für n+1" folgt.

Danke dir für den Denkanstoß. Mir war das auch etwas faul, aber ich dachte wenn ich die Induktion ein bisschen austrickse, indem ich von n-1 auf n schließe, dann könnte es klappen, was es aber offensichtlich nicht tut!

05.12.2012, 02:45

RavenOnJ

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Zitat:

Original von liebe_Maus

Zitat:

Original von RavenOnJ

$\begin{eqnarray*} f(\sum_{i=0}^n \lambda_i f^i(v)) = f(0) = 0 \end{eqnarray*}$

usw.

Irgendwie verstehe das nicht, da ja gemäß Vorraussetzung gilt: $\begin{eqnarray*} f(v) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Guck in die Aufgabe, da steht auch explizit: $\begin{align*} 0\ne v \Rightarrow \exists n: f^n(v)\ne 0 \end{align*}$ . D.h. das $\begin{align*} 0\ne v \end{align*}$ ist Voraussetzung für $\begin{align*} f^n(v)\ne 0 \end{align*}$ . Da es sich um einen Endomorphismus handelt, muss $\begin{align*} f(0)=0 \end{align*}$ gelten, denn

$\begin{align*} f(x+0) = f(x) = f(x) +f(0)\Rightarrow f(0) =0 \end{align*}$ .

05.12.2012, 03:01

MatheMan92

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Nochmal ein Danke!!! Ich denk ich habs jetzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.12.2012, 03:03

liebe_Maus

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Achso danke! Wir haben ja immer noch eine Lineare Abbildung vor uns.

Kurz nochmal zur Idee:

Zitat:

Original von RavenOnJ
Ich meine damit, f anwenden auf die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n \lambda_i f^i(v) =0 \end{eqnarray*}$

womit ihr ja die lineare Unabhängigkeit zeigen wollt. Also

$\begin{eqnarray*} f(\sum_{i=0}^n \lambda_i f^i(v)) = f(0) = 0 \end{eqnarray*}$

usw.

Ich wende die Additivität an und und kann das somit alles ganz toll aufschreiben. Ich sehe dann das dass $\begin{eqnarray*} f^{n+1} \end{eqnarray*}$ wegfällt und das dass $\begin{eqnarray*} \lambda_{n}=0 \end{eqnarray*}$ sein muss, aber wir kann ich dann von hier aus schließen das somit alle Lambdas dann Null sind. Übersehe ich da was, oder sehe ich vor lauter Bäume den Wald nicht mehr

05.12.2012, 03:10

MatheMan92

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Du wendest jetzt einfach f so oft auf die Gleichung an, bis du jedes Lambda durch hast, daraus ergibt sich dann, dass alle 0 sein müssen

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