Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis - Seite 2

09.12.2012, 11:41

EinGast

RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis

wir wollen herausfinden, welchen Wert jeder Summand hat, und dazu müssen wir $\begin{eqnarray*} e_{i_1}(i_1),\dots,e_{i_n}(i_1) \end{eqnarray*}$ haben...du brauchst dazu nur die Definition der e_i

09.12.2012, 11:46

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Hat nicht jeder den Wert 1, wegen i bildet auf 1 ab?

09.12.2012, 11:53

EinGast

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
nicht alle - es stimmt, dass $\begin{eqnarray*} e_{i_1}(i_1)=1 \end{eqnarray*}$ , aber die anderen sind 0 : $\begin{eqnarray*} e_{i_2}(i_1)=0=\dots=e_{i_n}(i_1) \end{eqnarray*}$ (da dann der Index und das Argument jeweils verschieden sind - nur wenn beide gleich sind, ergibt es 1)

das heisst wir haben $\begin{eqnarray*} (\lambda_1e_{i_1}+\dots+\lambda_ne_{i_n})(i_1)=\lambda_1e_{i_1}(i_1)+\dots+\lambda_ne_{i_n}(i_1)=\lambda_1 \end{eqnarray*}$

also hat die linke Seite an der stelle $\begin{eqnarray*} i_1 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ , aber rechts den wert 0, und damit ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$ - soweit ok? Analog sieht man, dass die anderen Lambdas auch 0 sind. Damit ist dann die lineare Unabhängigkeit gezeigt

09.12.2012, 12:01

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Soweit ja.
Also ist sozusagen das $\begin{eqnarray*} i_{1} \end{eqnarray*}$ das j aus der Aufgabenstelltung.

Und jetzt muss man noch das Erzeugendensystem zeigen.
Für das gilt das die Summe von $\begin{eqnarray*} \lambda _{i} e_{i} =(\lambda _{1},...,\lambda _{n}) \end{eqnarray*}$ oder?

09.12.2012, 12:09

EinGast

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis

Zitat:

Original von mathe_maed'l
Soweit ja.
Also ist sozusagen das $\begin{eqnarray*} i_{1} \end{eqnarray*}$ das j aus der Aufgabenstelltung.

Zitat:

Und jetzt muss man noch das Erzeugendensystem zeigen.
Für das gilt das die Summe von $\begin{eqnarray*} \lambda _{i} e_{i} =(\lambda _{1},...,\lambda _{n}) \end{eqnarray*}$ oder?

das stimmt für den Fall $\begin{eqnarray*} I=\{1,\dots,n\} \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} f\in K^{(I)} \end{eqnarray*}$ . Wir wollen nun $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\dots,\lambda_n\in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i_1,\dots,i_n\in I \end{eqnarray*}$ finden so, dass $\begin{eqnarray*} f=\lambda_1e_{i_1}+\dots\lambda_ne_{i_n} \end{eqnarray*}$ .

09.12.2012, 12:13

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Kommt man dann nicht wieder auf l.u., wenn f=0 ist?

09.12.2012, 12:16

EinGast

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
ja, das Vorgehen ist ganz analog wie bei der linearen Unabhängigkeit - welche $\begin{eqnarray*} i_1,\dots,i_n \end{eqnarray*}$ werden wir wählen? zur Erinnerung: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nur an endlich vielen Stellen $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ...

09.12.2012, 12:28

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Wenn nur an endlich vielen Stellen f ungleich 0 ist, kann ich nicht wie bei l.u. $\begin{eqnarray*} i_{1} \end{eqnarray*}$ nehmen, da wir da ja auf 0 gekommen sind, oder?

09.12.2012, 12:32

EinGast

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis

Zitat:

Original von mathe_maed'l
Wenn nur an endlich vielen Stellen f ungleich 0 ist, kann ich nicht wie bei l.u. $\begin{eqnarray*} i_{1} \end{eqnarray*}$ nehmen, da wir da ja auf 0 gekommen sind, oder?

doch, es gibt dann zwar nicht unbedingt 0 - aber genauso kann man auch hier die Lambda bestimmen

09.12.2012, 12:39

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Aber da hab ich dann die selben Schritte und Lösungen wie bei l.u. ...

09.12.2012, 12:44

EinGast

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
aber auf der anderen Seite steht jetzt ja nicht mehr 0, sondern $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$

09.12.2012, 12:51

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Das heißt, man bekommt dann z.B. raus: $\begin{eqnarray*} \lambda _{1}=f \end{eqnarray*}$ .

09.12.2012, 12:54

EinGast

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
fast - du hast beide Seiten an der Stelle $\begin{eqnarray*} i_1 \end{eqnarray*}$ ausgewertet, also musst du das auch mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ machen, dh $\begin{eqnarray*} \lambda_1=f(i_1) \end{eqnarray*}$ .
Die Frage ist jetzt aber noch, welche $\begin{eqnarray*} i_1,\dots,i_n \end{eqnarray*}$ wir wählen

09.12.2012, 13:00

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Meinst du ob 1 oder 0? Also ob i=j oder ungleich.

09.12.2012, 13:05

EinGast

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
nein, das müssen Indizes sein, also Elemente von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$

09.12.2012, 13:09

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Stimmt.
Dann verstehe ich nicht was du meinst...

09.12.2012, 13:15

EinGast

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
wir wollen, dass $\begin{eqnarray*} f=\sum_{k=1}^n\lambda_k\, e_{i_k} \end{eqnarray*}$ gilt in $\begin{eqnarray*} K^{(I)} \end{eqnarray*}$ . Insbesondere müssen dann beide Seite denselben Träger haben

09.12.2012, 13:22

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Heißt also:
die Menge von $\begin{eqnarray*} T_{f} \end{eqnarray*}$ ist endlich, wenn f ein Eelement von $\begin{eqnarray*} K^{(I)} \end{eqnarray*}$ ist.

09.12.2012, 13:26

EinGast

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
ja, und daher ...

09.12.2012, 14:13

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Und daher muss auch die Summe ein Element von $\begin{eqnarray*} K^{(I)} \end{eqnarray*}$ sein.

09.12.2012, 14:38

EinGast

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
ja, die summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\lambda_k\, e_{i_k} \end{eqnarray*}$ ist auch aus $\begin{eqnarray*} K^{(I)} \end{eqnarray*}$

09.12.2012, 15:00

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Aber jetzt habe ich doch immer noch nicht was ausgewählt bzw. gezeigt, dass es ein Erzeugendensystem ist.

09.12.2012, 15:36

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Wenn $\begin{eqnarray*} f(i)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist ja auch z.B. $\begin{eqnarray*} \lambda _{1}\neq 0 \end{eqnarray*}$ , weil wir ja gesagt hatten das $\begin{eqnarray*} f(i)=\lambda _{1} \end{eqnarray*}$ , oder?
Nützt das überhaupt was?

09.12.2012, 15:49

EinGast

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
richtig - wenn alle Lamda nicht 0 sind, dann ist der Träger der Funktion $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\lambda_ke_{i_k} \end{eqnarray*}$ gerade die Menge $\begin{eqnarray*} \{i_1,\dots,i_n\} \end{eqnarray*}$ . Dh. wir wählen die $\begin{eqnarray*} i_k \end{eqnarray*}$ als die Elemente von $\begin{eqnarray*} T_f \end{eqnarray*}$ , genauer $\begin{eqnarray*} T_f=\{i_1,\dots,i_n\} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt also $\begin{eqnarray*} f=\sum_{k=1}^n f(i_k)e_{i_k} \end{eqnarray*}$

und somit ist $\begin{eqnarray*} (e_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} K^{(I)} \end{eqnarray*}$

09.12.2012, 15:58

mathe_maed'l

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Ok.

So, jetzt hast du dir deinen Feierabend aber wirklich verdient. Augenzwinkern

Danke für deine Hilfe und deine Geduld.

09.12.2012, 16:01

EinGast

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RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
gern geschehen

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