Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis

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mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Meine Frage:
Hallo alle zusammen.

Ein Freund von mir, sitzt vor folgenden Aufgaben:

a) Zeigen Sie, dass ein Unterraum von ist.

b) Zeigen Sie, dass mit eine Basis von ist.

c) Es sei paarweise verschieden, eine Basis von V. Untersuchen Sie, ob ebenfalls eine Basis von V ist. Hinweis: Es ist eine Fallunterscheidung bzgl. der Charakteristik von K nötig.

Er hat mich gefragt ob ich helfen kann ...

Meine Ideen:
Also, wir hatten gedacht das man bei
a) auf die Skalarmultipliaktion und Addition eingehen muss, stimmt das?
b) die Injektivität zeigen soll? Es handelt sich außerdem um eine Standardbasis.
Und bei
c) hätte ich die l.u. (Elemente von M sind =0) und das Erzeugendesystem gezeigt, wobei mich der Hinweis verunsichert.

Kann uns bitte jemand helfen?
Danke.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zitat:
Original von mathe_maed'l
Meine Ideen:
Also, wir hatten gedacht das man bei
a) auf die Skalarmultipliaktion und Addition eingehen muss, stimmt das?

ja, genauer gesagt zeigen, dass abgeschlossen ist unter diesen beiden Operationen. Zusätzlich muss noch überprüft werden

Zitat:

b) die Injektivität zeigen soll?

nein - einfach die Bedingungen für eine Basis testen

Zitat:

Und bei
c) hätte ich die l.u. (Elemente von M sind =0) und das Erzeugendesystem gezeigt, wobei mich der Hinweis verunsichert.

es genügt, die lineare Unabhängigkeit zu prüfen (da V 3dimensional ist und M genau 3 Elemente enthält)
 
 
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Ok. Also bei c) hätte ich das mit dem gaußschen Eliminationsverfahren gemacht. Allerdings denke ich, dass es nicht stimmt. Grund ist die Frage, ob dann nicht jede Aussage l.u., wenn ich dieses Verfahren anwende.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zitat:
Original von mathe_maed'l
Also bei c) hätte ich das mit dem gaußschen Eliminationsverfahren gemacht.

kann man schon wenn du willst. Ob die Aussage stimmt, hängt von der Charakteristik von K ab...
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Bei a) hat mein Kumpel jetzt folgendes geschrieben:

soll Unterraum von sein.

z..z:




Beweis:















Ich weiß nicht so richtig, ob er mit und durcheinander gekommen ist.
Stimmt der Beweis ansonsten so?

Wie bekommt man das bei c) mit der Charakteristik raus?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zitat:
Original von mathe_maed'l
Bei a) hat mein Kumpel jetzt folgendes geschrieben:

soll Unterraum von sein.

z..z:



in der letzten Zeile braucht man den Fall nicht extra zu erwähnen.

Zitat:

Beweis:




zu zeigen ist, warum gilt für alle bis auf endlich viele . Ausserdem sollte dein Kollege auch unterscheiden zwsichen und dem Funktionswert

Zitat:
Wie bekommt man das bei c) mit der Charakteristik raus?

z.B. so: Seien mit . Nun ist ja eine Basis von ...
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zu c erstmal kurz.
Kann er dann schlussfolgern, wenn eine Basis von V ist, die diese l.u.. Also das gilt a=b=c=0? Könnte er das dann übertragen, das also ?

Jetzt nochmal zu dem Beweis.
Er muss also nicht zeigen das ?
Stimmt der Beweis das ?
Wie kann man auf das "gilt für alle bis auf endlich viele " eingehen?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zitat:
Original von mathe_maed'l
Zu c erstmal kurz.
Kann er dann schlussfolgern, wenn eine Basis von V ist, die diese l.u.. Also das gilt a=b=c=0? Könnte er das dann übertragen, das also ?

nein - wir haben zu entscheiden, wann die Lambdas alle 0 sind und wann nicht. Man kann ja in der Linearkombination ausmultiplizieren und dann ordnen nach Koeffizienten von a, b und c...

Zitat:
Jetzt nochmal zu dem Beweis.
Er muss also nicht zeigen das ?

dort ist zu zeigen dass:

Zitat:

Wie kann man auf das "gilt für alle bis auf endlich viele " eingehen?

Für sei zur Vereinfachung (das nennt man manchmal auch den Träger von ). Dann ist nach Definition genau dann, wenn die Menge endlich ist.
Seien nun . Wir wollen zeigen, dass dann auch . Was gilt für ? Warum ist auch endlich?
Um zu zeigen, dass : Was ist denn ?

(bin jetzt erstmal weg)
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Ok.
Also zu der Sache mit den Lambdas.



Ausmultipliziert:



Sortiert:





So, und jetzt sieht man das Lampda 0 ist, wenn und . Oder?

Nun zu dem Beweis das .
Ist vielleicht eine doofe Frage, aber wenn man zeigt, dass das =0 ist und , kommt man doch auch auf die Aussage das ist? Weißt du wie ich's meine?

Jetzt noch zu der Sache mit dem .
Heißt also, das alle Elemente die in sind, zu einem Träger dessen Menge endlich ist "führen"? Bei der Sache, weiß ich nicht wie ich sie meinem Kumpel erklären soll ...
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zitat:
Original von mathe_maed'l
Ok.
Also zu der Sache mit den Lambdas.



Ausmultipliziert:



Sortiert:





So, und jetzt sieht man das Lampda 0 ist, wenn und . Oder?

ich sehe nicht, wie du auf die letzte Gleichung kommst. Das Gleichungssystem ist





das muss man lösen

Zitat:
Nun zu dem Beweis das .
Ist vielleicht eine doofe Frage, aber wenn man zeigt, dass das =0 ist und , kommt man doch auch auf die Aussage das ist? Weißt du wie ich's meine?

das stimmt, aber i.a. ist

Zitat:
Jetzt noch zu der Sache mit dem .
Heißt also, das alle Elemente die in sind, zu einem Träger dessen Menge endlich ist "führen"?

ja, für gilt wie oben gesagt:
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Hatte die Gleichungen ungestellt.
Also, da komme ich jetzt auf folgendes:





Und das ist aber eine falsche Aussage. Heißt also, für diese Lösung ist Lambda nicht 0.
(Das ist jetzt aber nicht der Beweis für l.u., sondern für die Charakteristik? Die Beweise wirken gleich (mit dem =0).)

Bei der Sache mit dem weiß ich noch nicht wirklich weiter.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zitat:
Original von mathe_maed'l
Also, da komme ich jetzt auf folgendes:




ok, also haben wir dann . Siehst du nun, wie jetzt die Charakteristik ins Spiel kommt?

Zitat:
Und das ist aber eine falsche Aussage. Heißt also, für diese Lösung ist Lambda nicht 0.
(Das ist jetzt aber nicht der Beweis für l.u., sondern für die Charakteristik? Die Beweise wirken gleich (mit dem =0).)

das verstehe ich leider nicht

Zitat:
Bei der Sache mit dem weiß ich noch nicht wirklich weiter.

Die Frage ist im Prinzip: du hast zwei Funktionen . Warum ist dann auch nur an endlich vielen Stellen ? Dh. wenn , was kannst du dann sagen über und ?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Ist das nicht ? Wenn nicht, wie kommst du darauf, dass es ist? (Oder lässt man das "-" weg?)
Heißt das dann nicht ? Sprich char(K)=p (p=Primzahl)?

Dann kann ich sagen das f(i) und g(i) auch ungleich 0 sind?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zitat:
Original von mathe_maed'l
Ist das nicht ? Wenn nicht, wie kommst du darauf, dass es ist? (Oder lässt man das "-" weg?)
Heißt das dann nicht char(K)=0?


man kann noch beide Seiten mit -1 multiplizieren, dann fällt das Minus weg. Wenn , so folgt daraus , falls ist. Für haben wir also, dass alle Lambdas 0 sind, und somit ist dann linear unabhängig, dh eine Basis von
Es bleibt nun also noch der Fall ...

Zitat:
Dann kann ich sagen das f(i) und g(i) auch ungleich 0 sind?

Fast - es folgt, dass oder ist. Formaler ausgedrückt heisst das . Da die Mengen und aber nach Voraussetzung endlich sind, muss somit auch endlich sein. Das zeigt
Ähnlich kann man für argumentieren
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zu dem Fall wenn .
Das heißt das p=2. Also ist p bzw. 2 eine Primzahl und das bedeutet p*1=0 bzw. das . Oder?

Nun zu dem anderem.
Wenn ich genauso argumentiere für dann kommt man doch aber wieder darauf, dass das =0 ist. Oder muss ich, genauso wie bei f+g, sagen, dass es ungleich 0 ist?

Hab mal noch eine Frage zu b.
Man muss zeigen das und eine Basis sind, also ich meine "getrennt"?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Noch eine Idee, wenn char(K)=2 ist, dann ist M l.a., oder?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zitat:
Original von mathe_maed'l
Nun zu dem anderem.
Wenn ich genauso argumentiere für dann kommt man doch aber wieder darauf, dass das =0 ist. Oder muss ich, genauso wie bei f+g, sagen, dass es ungleich 0 ist?

Ich verstehe nicht, was hier noch das Problem ist - wenn du wie bei vorgehst, dann überlege: wenn , was folgt dann für ?

Zitat:
Hab mal noch eine Frage zu b.
Man muss zeigen das und eine Basis sind, also ich meine "getrennt"?

zu zeigen ist, dass die Menge eine Basis von ist (also linear unabhängig und ein Erzeugendensystem - einfach diese beiden Eigenschaften direkt zeigen). Wie du früher mal erwähnt hast, geht das ganz analog wie bei der Standardbasis in

Zitat:
Noch eine Idee, wenn char(K)=2 ist, dann ist M l.a., oder?

richtig! (in der Lösung sollte man noch etwas begründen, warum das so ist)
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
und damit ist

Was micht bei dem verwirrt, ist das mit dem "... falls ...".
Gut, dann war der Gedanke bisher richtig.

Mal sehen was mir zur Begründung einfällt. Augenzwinkern
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Bei der Begründung hat das was mit quadrieren zu tun? Das wäre jetzt mein Vermutung. (So das a+b, b+c, c+a quadriert werden, und man wieder ausmultpliziert usw.)
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zitat:
Original von mathe_maed'l
und damit ist

ja, dh es gilt und damit ist auch endlich.

Zitat:
Bei der Begründung hat das was mit quadrieren zu tun? Das wäre jetzt mein Vermutung. (So das a+b, b+c, c+a quadriert werden, und man wieder ausmultpliziert usw.)

nein. das macht keinen Sinn: in einem Vektorraum kann man nicht quadrieren - wir haben die Gleichung



und der Körper hat Charakteristik 2. Davon kann man direkt eine nichttriviale Lösung für die Lambdas angeben
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Nichttrivial bedeutet es gibt unendlich viele Lösungen, richtig?
Aber wie bringt man die Charakteristik mit rein? Bedeutet das dann nicht 2=0?
Wenn man eine Matrix macht, wäre es nichttrivial wenn ich nur noch 2 Gleichungen mit mehr als 2 Unbekannten hätte.
Muss man hier das mit det() machen? Also ausrechnen was Lambda sein muss.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zitat:
[i]Original von mathe_maed'l
Aber wie bringt man die Charakteristik mit rein? Bedeutet das dann nicht 2=0?

nichttrivial heisst bei einer Linearkombination, dass nicht alle Koeffizienten 0 sind, also mindestes ein Lambda ist nicht 0. Und ja, es gilt 2=0 ...
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Wenn 0=2 ist, kann man doch die Gleichung gleich 2 setzen oder?
Bringt das überhaupt was?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
nein. Aber könnte man nicht die Lambdas so wählen, dass in der Summe
alle Klammern 2 sind ? Augenzwinkern

(dann ist die ganze Summe 0, da 2 = 0)
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Du meinst:

usw. ... das habe ich vorhin gerade gemacht. Augenzwinkern

So, da kommt man dann auf die ganzen Lambdas, so das 2=0. Und das war's dann?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
ja, wobei man die Werte der Lambdas konkret angeben sollte
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Wird gemacht.
Jetzt nur noch die Aufgabe mit dem ... würde den Lösungsvorschlag dann nochmal posten, wenn er existiert. Wäre nett wenn du dir das auch noch angucken würdest. Augenzwinkern

Aber bis dahin erstmal:
Danke für deine Hilfe und deine Geduld. Warst eine große Hilfe.
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Eine Frage habe ich doch noch.
Muss man auf den Teil mit "... falls ..." eingehen, wenn man die Basis beweisen muss?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
ich glaube, du sprichst von der Definition von - nun, für ein vorgegebenes element soll einfach diejenige Funktion sei, die das auf 1 abbildet, und alle anderen Elemente von auf 0

vielleicht hilft es, mal den Fall zu betrachten (und sagen wir ). Dann entspricht den Funktionen von nach den reelen Zahlen (und die kann man als auffassen). Dann ist z.B. diejenige Funktion, die abbildet (das entspricht dem Vektor im ).
und analoges gilt für und . Hoffe, dass das die Sache etwas klarer macht
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Danke für das Beispiel, jetzt hab ich's glaube verstanden, wie's gemeint ist.
Für l.u. würde das dann bedeuten: (wenn )
damit wäre für alle .

Wobei mir das ziemlich kurz erscheint ...
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
die sind nach Definition genau dann linear unabhängig, wenn jedes endliche Teilsystem davon linear unabhängig ist.
Betrachte wir so eine endlich Teilfamilie der , sagen wir für (paarweise verschiedene) . Es seien mit

in

nun wollen wir daraus folgern, dass alle Lambdas 0 sind ...
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Wenn vorausgesetzt wird, dass die Lambdas mit 0 ergeben, dann heißt das doch "automatisch" für alle ... ?
Wenn man das so macht, wie bei der Aufgabe, wo die Charakteristik mit zu beachten war (), dann entsteht (bei der Aufgabe) immer wieder die Gleichung und damit ist .
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
ganz "automatisch" ist das nicht...in der Gleichung steht auf jeder Seite eine Funktion von nach (rechts ist es die Nullfunktion, die jedes Element von auf 0 abbildet). Man kann nun die möglichen Funktionswerte der beiden Seiten betrachten ...
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Ok, ich glaube jetzt ist der Punkt wo ich wirklich keine Ahnung mehr habe ...
Wenn auf der einen Seite I auf 0 abbildet, muss also die andere Seite das selbe machen.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Zitat:
Original von mathe_maed'l
Wenn auf der einen Seite I auf 0 abbildet, muss also die andere Seite das selbe machen.

richtig - welchen Wert nimmt die linke Seite z.B. an der Stelle an?
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Gute Frage.
1?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
nein - und jetzt kann man die Definition der benutzen (und das paarweise verschieden sind)
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Also, muss jetzt eingebracht werden das i auf 1 abbildet und die anderen Elemente von I auf 0.
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
ja, wir müssen uns jetzt überlegen, was sind
mathe_maed'l Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen/Untersuchen: Unterraum und Basis
Wie meinst du das?
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