Körper, Abbildungen etc

05.12.2012, 22:02

Staubkoernchen

Körper, Abbildungen etc

Huhu,

ich muss bis morgen folgende Übungen abgeben:
6 Punkte
Sei K ein Körper, M eine Menge und $\begin{eqnarray*} f : K \mapsto M \end{eqnarray*}$ eine bijektive Abbildung. Seien für x, y Element von M
$\begin{eqnarray*} x + y := f(f^{-1}(x) + f^{-1}(y) ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x * y := f(f^{-1}(x) * f^{-1}(y) ) \end{eqnarray*}$
Zeigen sie, dass (M, +, *) ein Körper ist mit f(0) und f(1) als Null- und Einselement.

Sei nun $\begin{eqnarray*} K = \mathbb R, M = \mathbb R \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch f (x) := 2x + 1. Geben Sie explizit die
Addition und Multiplikation auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ an, die durch f induziert wird (Teilaufgabe i)).

Also bei der 1. sind ja gefragt 3 Dinge:
1. Ist (M, +, *) ein Körper?
2. Ist f(0) das Nullelement?
3. Ist f(1) das Einselement?

Vorraussetzungen für den Körper:
a. $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, +) \end{eqnarray*}$ ist eine assoziative Gruppe
b. $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, *) \end{eqnarray*}$ ist eine assoziative Gruppe
c.Distributivgesetz gilt

a) Also, zu den Vorraussetzungen einer Gruppe zählen folgende:
I)Die Verknüpfung zweier Elemente der Menge ergibt wiederum ein Element derselben Menge. (Abgeschlossenheit) -> Ja, das ist zwangsläufig so, aber wie beweis ich das? mir fällt aus Ana nur ein "Zu jedem a,x Element $\begin{eqnarray*} \mathbb N/R \end{eqnarray*}$ ? gibt es ein element y element von $\begin{eqnarray*} \mathbb N/R \end{eqnarray*}$ ?, sodass gilt a+x=y"
II)Assoziativgesetz gilt - ja, zum. bei allen behandelten ähm Dingern wie Zahlen und Matritzen ist dies so bei der Addition
III)Es gibt ein Element e in der Menge, das bezüglich der Verknüpfung nichts bewirkt (bei der Addition ist das das Nullelement - beweis ich später)
IV)Zu jedem Element a gibt es bezüglich der Verknüpfung ein Umkehr-Element, d.h inverses Element - keenen Plan wie ich DAS beweisen soll...was wenn es einfach nicht inner Menge liegt?
V)(weil kommutativ) Kommutativgesetz gilt -> Ja, zum. bei allen behandelten ähm Dingern wie Zahlen und Matritzen ist dies so bei der Addition

b) So ziemlich dasselbe, nur dass das Kommuntativgesetz bei Matritzen dann nicht gelten würde...

c) Kommt wiederrum darauf an, ob die Menge M aus Matritrzen besteht? Wenn ja, kann das nicht sein...

2. Ist f(0) das Nullelement?
Ich hab mir so gedacht... sagen wir, f(0)=2... f(3)= 5... 2+5=7, und weil die Abbildung bijektiv ist, kann f(3)=7 nicht gelten! Das müsste aber doch der Fall sein...

Kann mir jemand helfen? unglücklich

06.12.2012, 10:59

Math1986

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RE: Körper, Abbildungen etc

Zitat:

Original von Staubkoernchen
a) Also, zu den Vorraussetzungen einer Gruppe zählen folgende:
I)Die Verknüpfung zweier Elemente der Menge ergibt wiederum ein Element derselben Menge. (Abgeschlossenheit) -> Ja, das ist zwangsläufig so, aber wie beweis ich das? mir fällt aus Ana nur ein "Zu jedem a,x Element $\begin{eqnarray*} \mathbb N/R \end{eqnarray*}$ ? gibt es ein element y element von $\begin{eqnarray*} \mathbb N/R \end{eqnarray*}$ ?, sodass gilt a+x=y"

Mit letzterem hat dies nichts zu tun. Entscheidend ist hier vielmehr, dass f bijektiv ist, d.h. es existiert die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}\colon M\to K \end{eqnarray*}$
Somit ist auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) + f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ eindeutig gestgelegt, und $\begin{eqnarray*} f\left(f^{-1}(x) + f^{-1}(y)\right) \end{eqnarray*}$ liefert ebenfalls in eindeutiger Weise ein Element aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Abgeschlossenheit schon gezeigt.

Zitat:

Original von Staubkoernchen
II)Assoziativgesetz gilt - ja, zum. bei allen behandelten ähm Dingern wie Zahlen und Matritzen ist dies so bei der Addition

Ich verstehe nicht was du meinst. Ein "Beweis durch Beispiel" bringt dich hier nicht weiter.

Zu zeigen ist, dass (bzgl. obiger Addition) $\begin{eqnarray*} x+(y+z)=(x+y)+z \end{eqnarray*}$ gilt, einfach einsetzen und Umformen.

Zitat:

Original von Staubkoernchen
III)Es gibt ein Element e in der Menge, das bezüglich der Verknüpfung nichts bewirkt (bei der Addition ist das das Nullelement - beweis ich später)

Das solltest du jetzt zeigen, da man ohne ein neutrales Element nicht über die Existenz inverser Elemente reden kann.

Zitat:

Original von Staubkoernchen
V)(weil kommutativ) Kommutativgesetz gilt -> Ja, zum. bei allen behandelten ähm Dingern wie Zahlen und Matritzen ist dies so bei der Addition

Das musst du, wie die Assoziativität - auch hier nachweisen, ein "Beweis durch Beispiel" geht prinzipiell nicht. Also zeige (bzgl. obiger Addition) , dass $\begin{eqnarray*} x+y=y+x \end{eqnarray*}$

Ich weiß auch nicht, weswegen du hier immer mit Matrizen ankommst, $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist ein beliebiger Körper.

11.12.2012, 17:38

Staubkoernchen

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Zitat:

Ich weiß auch nicht, weswegen du hier immer mit Matrizen ankommst, $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist ein beliebiger Körper.

Ja, ich lass mich leicht verwirren Big Laugh

Ich war mir nur unsicher, ob es nicht irgendetwas gibt, für das bestimmte Regeln nicht gelten, sodass mein Beweis nur für die... Dinger? gilt, die ich derzeit kenne. Z.B. in der Grundschule, da gabs noch keine "Kommazahlen" und bevor wir Matritzen kannten, war für uns klar, dass alle ...Dinger? Big Laugh

dem Kommutativgesetz folgen...
Wir haben inna Übung ne ähnliche Aufgabe besprochen, ich weiß jetzt zum Glück, wie man sowas beweist smile

Danke vielmals für deine Mühe, Ordnung in mein Chaos zu bringen Big Laugh

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