Inklusion-Exklusion

06.12.2012, 18:34

Fratittir

Inklusion-Exklusion

Hallo,

Wie kann man so eine Aufgabe bearbeiten?:

Bezeichnungen für unterschiedliche Hobbys sind A,B,C,
Es gibt 40 Personen.
Darunter befinden sich 10 die A machen, 8 die B machen und 5 die C machen.
Dabei können 3 nur A, 2 nur B und 3 nur C.

Wie viele haben gar kein Hobby?

Ich dachte mir:

7 können A und etwas anderes:
$\begin{eqnarray*} 7 = | (A \cap B) + (A \cap C) | \end{eqnarray*}$

6 können B und etwas anderes:
$\begin{eqnarray*} 6 = | (A \cap B) + (B \cap C) | \end{eqnarray*}$

und schließlich 2 die c und was anderes haben:

$\begin{eqnarray*} 2 = | (A \cap C) + (B \cap C) | \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierhin überhaupt schonmal korrekt?

06.12.2012, 19:35

Math1986

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RE: Inklusion-Exklusion
Hallo,
deine Bezeichnung mit dem Pluszeichen ist falsch, Mengen kann man nicht addieren.

Hier hilft dir die Siebformel weiter.

07.12.2012, 16:11

Fratittir

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Wenn ich nun die Anzahl derjenigen Personen suche, die mehr als eine Sprache spricht, dürfte das sein:

Personen die mehr als 1 Sprache sprechen =

$\begin{eqnarray*} |A\cap B| + |A\cap C| + |B\cap C| - 2* |A\cap B\cap C| \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Wie gehts denn ungefähr weiter? Habe leider keine Idee..

07.12.2012, 22:03

HAL 9000

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Richtig, aber zielführender ist es, hier zu bleiben:

Zitat:

Original von Fratittir (Symbole korrigiert)
7 können A und etwas anderes:
$\begin{eqnarray*} 7 = | (A \cap B) \cup (A \cap C) | \end{eqnarray*}$

6 können B und etwas anderes:
$\begin{eqnarray*} 6 = | (A \cap B) \cup (B \cap C) | \end{eqnarray*}$

und schließlich 2 die c und was anderes haben:

$\begin{eqnarray*} 2 = | (A \cap C) \cup (B \cap C) | \end{eqnarray*}$

Wie von Math1986 empfohlen, kannst du nun jeweils die Siebformel anwenden, z.B. bei der ersten Gleichung

$\begin{eqnarray*} 7 = |A \cap B| + |A \cap C| - |(A \cap B) \cap (A \cap C) = |A \cap B| + |A \cap C| - |A \cap B \cap C|| \end{eqnarray*}$ ,

analog bei den anderen beiden. Das ergibt dann drei Gleichungen für die vier Unbekannten $\begin{eqnarray*} |A \cap B| \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} |A \cap C| \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} |B \cap C| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |A \cap B \cap C| \end{eqnarray*}$ , was aber dennoch (wie sich herausstellt) eindeutig lösbar ist.

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