Magisches Quadrat Matrix

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MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
Magisches Quadrat Matrix
Aufgabe:
Man nennt eine reelle 3x3 Matrix



ein magisches Quadrat, falls alle
Zeilensummen, alle Spaltensummen und die beiden Diagonalsummen
und miteinander übereinstimmen.
a) Zeigen Sie, dass die magischen Quadrate einen Unterraum M des reellen Vektorraums
bilden.
b) Geben Sie eine Basis von M an.

Meine Ideen:

a) Unterraumaxiome:

(U1) .
(U2) .
(U3) .

Aber wie zeige ich nun, dass die magischen Quadrate eine Unterraum bilden?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es, wenn Du einfach überprüfst, ob die von Dir genannten Kriterien zutreffen?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie? Ich versteh das gerade nicht
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Magisches Quadrat Matrix
Zitat:
Original von MatheNoobii

(U1) .
(U2) .
(U3) .


(U1) Ist das Nullelement in der Menge enthalten?
(U2) Nimm zwei magische Quadrate und addiere sie. Ist das Ergebnis wieder ein magisches Quadrat?
(U3) Ist das Vielfache eines magischen Quadrats selber wieder ein magisches Quadrat?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Magisches Quadrat Matrix
Bedeuetet das Nullelement, dass alle x = 0 sind?

Aber wie nehme ich denn 2 magische Quadrate? Was ist z.B ein u?

Beispiele? Oder das Allgemein machen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Magisches Quadrat Matrix
Zitat:
Original von MatheNoobii
Bedeuetet das Nullelement, dass alle x = 0 sind?


Ja. Die Nullmatrix fungiert im Vektorraum aller dreireihigen quadratischen Matrizen, nicht nur der magischen Quadrate, als Nullvektor.

Zitat:
Original von MatheNoobii
Aber wie nehme ich denn 2 magische Quadrate? Was ist z.B ein u?


In diesem Fall ist ein u ein magisches Quadrat. Wähle dafür einen anderen Bezeichner, wie er bei Matrizen üblich ist.

Zitat:
Original von MatheNoobii
Beispiele? Oder das Allgemein machen?


Beispiele können für das Verständnis helfen. Der Beweis ist selbstverständlich allgemein zu führen.

Ein magisches Quadrat wird durch acht charakteristische Gleichungen definiert. Für die Abgeschlossenheit bezüglich der Vektoraddition (hier der Matrizenaddition) mußt du daher allgemein (!) zeigen, daß wenn (!) zwei Matrizen diesen acht Bedingungen genügen (mit zugehörigen Summenwerten), dann (!) auch deren Summe dies tut (für einen passenden Summenwert). Für die praktische Arbeit genügt es, wenn du das bei einer der acht Gleichungen vorführst. Man wird dir dann glauben, daß du, wenn du "Rest entsprechend" schreibst, das auch bei den andern sieben Gleichungen könntest.

Siehe auch hier.
 
 
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Magisches Quadrat Matrix
Also zu (U1):


Ich habe die 8 Gleichungen:




Nun ist selbstverständlich, dass für alle x=0 ein magisches Quadrat entsteht und dieses somit ein Unterraum ist. Aber wie beweise ich das nun mathematisch korrekt

zu (u2):

Ja, dass u ein magisches Quadrat ist weiß ich, aber ich verstehe den anderen Bezeichner nicht. Wäre dieser nicht diese 8 Gleichungen? bzw die gleichung:



und wie addiere ich dann 2 magische Quadrate ? Also u+v

zu (u3): hier kann ich beispielsweise alle x mit dem vorfaktor 2 multiplizieren und dann zeigen dass diese Gleichung immer noch erfüllt ist:
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Magisches Quadrat Matrix
Zitat:
Original von MatheNoobii
Also zu (U1):


Ich habe die 8 Gleichungen:




Nun ist selbstverständlich, dass für alle x=0 ein magisches Quadrat entsteht und dieses somit ein Unterraum ist. Aber wie beweise ich das nun mathematisch korrekt?


Diese logische Verknüpfung ergibt keinen Sinn. Richtig ist, daß die Nullmatrix alle acht Gleichungen mit erfüllt. Also ist die Nullmatrix ein Element von (so heißt übrigens der mutmaßliche Unterraum hier; verwende stets die in der Aufgabe festgelegten Bezeichnungen).

Jetzt zeige die Abgeschlossenheit von gegenüber der Vektoraddition (hier: der Matrizenaddition). Details dazu stehen schon in meinem vorigen Beitrag.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Magisches Quadrat Matrix
Also: Ein ist ein magisches Quadrat,d.h. in dieser Matrix sind die 8 Gleichungen :




erfüllt. Also ist anders bezeichnet so:





und :




Ich versteh nicht wie ich die beiden nun addieren kann.

edit von sulo: Zeilenumbruch für die bessere Lesbarkeit des Threads eingefügt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ding heißt hier nicht , sondern . Das sagte ich bereits. Bitte halte dich an die Vorgaben.

Da du zwei verschiedene magische Quadrate betrachtest, darfst du ihre Elemente nicht gleich bezeichnen. Das ist die Grundregel Nr. 1 der Mathematik: Verschiedenes heißt verschieden.

Du kannst die Matrizen z.B. mit



bezeichnen. Jetzt darfst du für beide die acht Gleichungen annehmen, für etwa mit dem Summenwert , für mit dem Summenwert .
Dann weise nach, daß auch die acht Bedingungen erfüllt. Mit welchem Summenwert nämlich?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja natürlich!

Das dachte ich mir schon. Jetzt leuchtet mir das ein!

Ja diese beiden addiert müssen den Summenwert haben.

also

(I) So muss ich mir das vorstellen oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt zwar. Dennoch glaube ich dir - nach deinen bisherigen Beiträgen - noch nicht so richtig, daß du das schon vollständig durchdrungen hast. Weise bitte ausführlich nach, daß auch zu gehört.

EDIT

O.k. - du hast das nachgetragen!
Ich hätte es der Deutlichkeit halber so aufgeschrieben:

Die Elemente der Matrix sind usw. Die Zeilensumme der ersten Zeile ist damit



Entsprechend zeigt man das für die anderen sieben Gleichungen. Also gehört auch zu . Damit ist abgeschlossen bezüglich der Addition.

Jetzt fehlt noch die Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ja habe ich um ehrlich gesagt auch noch nicht! Es erscheint mir zwar logisch, aber mathematisch genau erklärt, versteh ich das noch nicht
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

(siehe mein EDIT oben)
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ah! Perfekt erklärt! So ist es natürlich noch deutlicher!

Jetzt zur Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation:

Also Behauptung:



Somit sind die Elemente der Matrix:

Somit heißt die erste Zeile:

(I)

Und das noch für die restlichen 7 Zeilen zeigen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier

Zitat:
Original von MatheNoobii
Somit sind die Elemente der Matrix:


würde ich die entscheidenden drei Pünktchen noch machen:

Somit sind die Elemente der Matrix:

Und es sind nicht sieben weitere Zeilen, sondern sieben weitere Gleichungen (Zeilen, Spalten, Diagonalen). Auch hier gilt: Höchste Sorgfalt beim Formulieren!
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Pünktchen sind mir im Nachhinein auch noch aufgefallen.
Okay da überleg ich in Zukunft mal vorher was ich sage Big Laugh

Erstmal dankeschön, dann hab ich es jetzt verstanden! smile
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

zu b)

Hier bräuchte ich nochmal Hilfe!

Die Basis des ist

Stimmt das soweit?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist, was du mit meinst. Aber du sollst ja auch eine Basis von angeben. Wie das geht, habe ich bereits erklärt.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »



Wäre hier folgendes möglich:




und

?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Matrizen sind magisch. Das ist schon einmal gut. Allerdings ist der Summenwert nicht , sondern bei allen Matrizen . Aber das ist nicht das eigentliche Problem. Dieses besteht vielmehr in der Gleichung



die zeigt, daß die Matrizen linear abhängig sind.
Man kann aber durchaus drei linear unabhängige Matrizen bestimmen. Du kannst die mit Probieren finden, mußt aber etwas variantenreicher denken.

Ich schlage vor: bleibt. Dann ähnlich wie mit Einsen, Minus-Einsen und Nullen, aber den Nullen in der anderen Diagonalen. Damit hast du schon einmal zwei einfache linear unabhängige (warum?) Matrizen vom Summenwert . Jetzt vielleicht noch mit lauter Einsen und daher vom Summenwert . Du kannst dir auch etwas anderes zurechtlegen. Finde heraus, ob diese drei Matrizen jetzt linear unabhängig sind. Damit hättest du dann gezeigt:



Daß andererseits gilt, steht in dem Beitrag, auf den mein Link oben verweist. Hast du diese Argumentation verstanden?

Aus und folgt insgesamt: . Nach allgemeinen Grundsätzen bei endlich-dimensionalen Vektorräumen bilden damit drei linear unabhängige Vektoren automatisch ein Erzeugendensystem. Ein Erzeugendensystem aus linear unabhängigen Vektoren ist aber eine Basis.

Du kannst statt dieser Mischung aus Probieren und Verifizieren auch einfach das lineare Gleichungssystem mit den acht Gleichungen und neun Unbekannten lösen. Das wird aber sicher nicht einfacher.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »







Stimmt, meine waren nicht linear unabhängig. Da hatte ich mich vertan.
Diese sind tatsächlich linear unabhänig. Das mit der Dimension habe ich allerdings noch nicht verstanden :/

Also wir haben jetzt drei linear unabhängige magische Quadrate gefunden, d.h. die Dimension ist mindestens 3. Wir könnten ja theoretisch noch ein Viertes finden, dann wäre die Dimension mind. 4.

Wir haben gesagt Also wenn .
Wenn wir jetzt noch und angeben(Jetzt haben wir drei Variablen,),können wir die restlichen Matrixelemente ausrechnen. Und warum ist deshalb nun die Dimension höchstens 3? Weil wir mind. 3 Elemente brauchen um die restlichen Elemente ausrechnen zu können?


Dass daraus folgt, dass und somit 3 linear unabhängige ein Erzeugdenensystem bilden, und das wiederum eine Basis ist, habe ich verstanden und den Rest auch...
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