Permutationsmatrizen

07.12.2012, 13:19

dreams

Permutationsmatrizen

Hallo
Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{m \times n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} rg(A) = p \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage:
Existieren Permutationsmatrizen $\begin{eqnarray*} P_1, P_2 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} P_1AP_2 = \begin{pmatrix} A_{11} A_{12} \\ A_{21} A_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_{11} \in \mathbb R^{p \times p} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} rg(A_{11}) = p \end{eqnarray*}$ ?
Das man die Spalten von A so permutieren kann, so dass die ersten p Spalten linear unabhängig sind, ist mir klar. Jedoch bin ich mir bei obiger Frage nicht sicher. Wie könnte man da ansetzen?

07.12.2012, 14:21

weisbrot

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RE: Permutationsmatrizen

Zitat:

Das man die Spalten von A so permutieren kann, so dass die ersten p Spalten linear unabhängig sind, ist mir klar.

ja, und genau das passiert bei rechtsmultiplikation mit entsprechenden perm.matrizen; analog für zeilen bei linksmult.. das argument könnte man noch verfeinern indem man z.b. die permutationsmatrizen abhängig von den nummern der unabhängigen spalten/zeilen in A explizit angibt. ich weiß jetzt aber nicht ob das hier schon zu weit gehen würde.
lg

07.12.2012, 14:56

dreams

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RE: Permutationsmatrizen
ah ok,
das heißt ich führe erst die Permutation der Spalten durch und anschließend die Permutation der Zeilen? (bzw gerade umgekehrt)

07.12.2012, 15:22

weisbrot

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RE: Permutationsmatrizen
jo. und du weißt dass das eben genau der links-/rechtsmult. mit bst. matizen entspricht - und die ist assoziativ - also spielt die reihenfolge keine rolle.
lg

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