Irreduziblität

07.12.2012, 22:20	eamon	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduziblität Hallo Leute, ich habe ein kleines Problem. Es ist folgendes vorausgesetzt: $\begin{eqnarray} a \in K, r,s \in \mathbb{N}, ggT(r,s) = 1 \end{eqnarray}$ . Wobei K ein Körper ist. Zu zeigen ist nun: $\begin{eqnarray} x^{rs} - a \end{eqnarray}$ ist irreduzible über K genau dann wenn $\begin{eqnarray} x^s -a, x^r -a \end{eqnarray}$ irreduzible sind über K. Ich hatte nun auch schon ein paar Ideen. 1) Wenn wir zeigen könnten dass sobald $\begin{eqnarray} x^s -a, \end{eqnarray}$ reduzible ist, $\begin{eqnarray} x^s -a, x^r -a \end{eqnarray}$ automatisch eine Nullstelle hat, so könnte man die Hinrichtung beweisen indem man annimmt $\begin{eqnarray} x^s -a, \end{eqnarray}$ sei reduzible. Daraus folgt dann, dass es $\begin{eqnarray} a = b^s \end{eqnarray}$ , wobei dann b eine Nullstelle von $\begin{eqnarray} x^s -a \end{eqnarray}$ ist. Dann können wir folgern: $\begin{eqnarray} \frac{x^{sr} -b^s}{x^r -b} = \sum_{i=1}^{s} x^{sr-ir}b^{i-1} \end{eqnarray}$ Also eine Teleskopsumme. Somit wäre dann ein Widerspruch erzeugt. Ich weiß aber nicht ob das geht, insbesondere hab ich keine Ahnung wie die Rückrichtung geht. In der Vorlesung haben wir schon algebraisch abgeschlossene Körpererweiterungen behandelt, allerdings noch keine normale KE bzw seperable Elemente etc... Außerdem habe ich die ggT Vorausetzung nicht benutzt, ich glaube man muss irgendwie sich Körpererweiterungen basteln, mit Dimensionen von diesen Polynomen, aber genau weiß ich es nicht... Über Hilfe wäre ich sehr erfreut.
08.12.2012, 14:13	eamon	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner eine Idee?
08.12.2012, 14:50	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Hoffnung geht leider nicht auf, betrachte z.b. $\begin{eqnarray} x^4-(-1) \in \mathbb R[X] \end{eqnarray}$ . Aber die Hinrichtung geht viel einfacher: Ist $\begin{eqnarray} x^s-a=f(x)g(x) \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} x^{rs}-a = f(x^r)g(x^r) \end{eqnarray}$
08.12.2012, 18:17	eamon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das stimmt, die Richtung ist wirklich sehr einfach... Was ist mit der anderen, jemand eine Idee?
09.12.2012, 16:04	eamon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wäre euch wirklich sehr dankbar,...
09.12.2012, 17:00	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rückrichtung sieht man so: Man betrachtet den Körperturm $\begin{eqnarray} K \subset K(\sqrt[r]{a},\sqrt[s]{a}) \subset K(\sqrt[rs]{a}) \end{eqnarray}$ . Man kann zeigen: da die Grade der Körpererweiterungen $\begin{eqnarray} K \subset K(\sqrt[r]{a}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K \subset K(\sqrt[s]{a}) \end{eqnarray}$ teilerfremd sind, ist $\begin{eqnarray} x^r-a \end{eqnarray}$ sogar irreduzibel über $\begin{eqnarray} K(\sqrt[s]{a}) \end{eqnarray}$ . Dies liefert zusammen mit obigem Körperturm aber gerade $\begin{eqnarray} [K(\sqrt[rs]{a}) : K ] \geq rs \end{eqnarray}$ , was der Behauptung entspricht. PS: Nicht so drängeln
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09.12.2012, 17:52	eamon	Auf diesen Beitrag antworten »
Schönen Dank, entschuldige meine Ungeduld....
09.12.2012, 18:35	eamon	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist da etwas aufgefallen..., dein Argument setzt voraus, dass die rs-te Wurzel die r-te Wurzel und die s-te Wurzel von a erzeugt. Das ist mir so erstmal nicht klar...
09.12.2012, 19:43	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Denk nochmal drüber nach. Das ist recht offensichtlich.

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