Extremwertaufgabe: Umfang minimieren

08.12.2012, 10:09

Vinicius7

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Jetzt habe ich eine andere Aufgabe aus dem gleichen Bereich:

Zitat:

Ein rechteckiges Grundstück soll den Flächeninhalt 400m^2 erhalten. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks zu wählen, damit der Umfang des Rechtecks minimal wird?

Wir haben das im Unterricht in fünf Schritten gemacht:
1) Ziel
Hier: U=2a+2b-->min.
2) Nebenbedingung
Hier: a*b=400 --> b=400/a
3) Zielfunktion
Hier: $\begin{eqnarray*} A(a)=2a+2(400/a) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 2a+(800/a) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

edit von sulo: Habe die neue Aufgabe einen eigenen Thread verschoben.

08.12.2012, 10:26

gast0812

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Ja.

08.12.2012, 10:32

Vinicius7

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Ich hoffe, ich kann einer unregistrierten Person vertrauen Big Laugh

Big Laugh

Der 4. Punkt sind die relativen Extrema und dafür brauche ich die Ableitungen, aber wie leite ich die Funktion ab?

08.12.2012, 10:44

gast0812

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Leite nach a ab:
Vllt. hilft dir diese Sc hreibweise: $\begin{eqnarray*} 2*a+ 800*a^{-1} \end{eqnarray*}$

08.12.2012, 11:05

Vinicius7

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Diese Ableitungen habe ich dann raus:
$\begin{eqnarray*} A'(a)=2-800a^-2 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} A''(a)=1600a^-3 \end{eqnarray*}$

08.12.2012, 11:09

gast0812

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Richtig.

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08.12.2012, 11:26

Vinicius7

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Gut, dann gehts weiter.
Mit der notwendigen Bedingung bekomme ich a1=-0,05 und a2=0,05 raus.
Wenn ich die Werte in die hinreichende Bedingung einsetze, kommen da die Werte -1280000 und 12800000 raus. Also ist bei -0,05 das Maximum und das brauche ich ja. Deshalb setze ich -0,05 in die Ursprungsfunktion ein und bekomme -16000,1 raus.

08.12.2012, 12:09

Gast0812

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Ich erhalte für $\begin{eqnarray*} f'(a)=0 --> 2a^2-800=0 --> a=+/- 20 \end{eqnarray*}$

08.12.2012, 12:43

Vinicius7

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Zitat:

Original von Gast0812
Ich erhalte für $\begin{eqnarray*} f'(a)=0 --> 2a^2-800=0 --> a=+/- 20 \end{eqnarray*}$

Wie bist du auf $\begin{eqnarray*} 2a^2-800 \end{eqnarray*}$ gekommen?

08.12.2012, 12:46

Gast0812

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Ich habe $\begin{eqnarray*} A'(a)= 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ durchmultipliziert.

08.12.2012, 13:03

Vinicius7

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2-800a^-2=0 |*a^2 ?

Kann man das überhaupt? Das eine ist ja ^-2 und das andere ^+2

08.12.2012, 13:27

gast0812

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Ziel ist es ja $\begin{eqnarray*} a^{-2} \end{eqnarray*}$ zu beseitigen.Das geht eben nur durch Multipikation mii $\begin{eqnarray*} a^2. \end{eqnarray*}$

08.12.2012, 13:29

Vinicius7

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Aber dann ist das a doch ganz aus der Gleichung, weil a^2*0 gleich 0 ist.

08.12.2012, 14:32

Gast0812

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Bedenke:

$\begin{eqnarray*} 800*a^{-2}*a^2= 800<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{-2}*a^2=a^0=1 \end{eqnarray*}$

08.12.2012, 16:23

Vinicius7

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Und woher kommt jetzt die 800 auf der anderen Seite?

08.12.2012, 19:16

Dopap

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Zitat:

Original von Vinicius7
2-800a^-2=0 |*a^2 ?

Kann man das überhaupt? Das eine ist ja ^-2 und das andere ^+2

man darf mit allem multiplizieren, nur nicht mit Null, Demnach $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2-800a^{-2}=0 \qquad | *a^2 \qquad \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a^2 -800 = 0 \qquad | +800 \qquad \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a^2=800 \qquad | : 2 \qquad \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2=400 \qquad | \sqrt() \qquad \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=20 \end{eqnarray*}$

09.12.2012, 12:38

Vinicius7

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Danke, die Schritte verstehe ich so. Ich hoffe, dass der Rest jetzt stimmt:
hinr. Bed.
$\begin{eqnarray*} A''(20)=1600*20^-3=0,2 \end{eqnarray*}$ -->Minimum
$\begin{eqnarray*} A''(-20)=1600*(-20)^-3=-0,2 \end{eqnarray*}$ -->Maximum

y-Wert: $\begin{eqnarray*} A(-20)=2*(-20)+800*(-20)^-1=-80 \end{eqnarray*}$

09.12.2012, 18:18

Dopap

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Zitat:

Original von Vinicius7
Danke, die Schritte verstehe ich so. Ich hoffe, dass der Rest jetzt stimmt:
hinr. Bed.
$\begin{eqnarray*} A''(20)=1600*20^-3=0,2 \end{eqnarray*}$ -->Minimum

richtig. Wir haben aber geometrisch nur einen a Wert.

Zitat:

y-Wert: $\begin{eqnarray*} A(-20)=2*(-20)+800*(-20)^-1=-80 \end{eqnarray*}$

auch hier: a=20

$\begin{eqnarray*} A(20)=2*(20)+\frac {800}{20}=80 \end{eqnarray*}$

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