Determinante, transponierte Matrix

08.12.2012, 21:17

Racoon

Determinante, transponierte Matrix

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei R ein nullteilerfreier, kommutativer Ring und $\begin{eqnarray*} H := \left\{ A \in\ GL_p(R)| A \cdot A^T = I_p \right\} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in\ H \end{eqnarray*}$ mit p=2 gilt: $\begin{eqnarray*} det(A) := ad -bc \in\ \left\{ \pm 1\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir fällt einfach kein brauchbarer Ansatz ein. unglücklich

Ich hab erstmal versucht ein LGS aufzustellen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = 1 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} ac + bd = 0 \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} ca + da = 0 \end{eqnarray*}$
4) $\begin{eqnarray*} c^2 + d^2 = 0 \end{eqnarray*}$

2) und 3) sind dabei gleich, also gibt es nur 3 Gleichungen. Aber ich weiß nicht, wie ich jetzt weitermachen muss oder ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin. unglücklich

Kann mir jemand sagen, wie ich an diese Aufgabe rangehen muss? Für Tipps wäre ich wirklich sehr dankbar.

Gruß Racoon

08.12.2012, 21:19

shipwater

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Hi Kommilitone Augenzwinkern

Nutze die Multiplikativität der Determinante.

Gruß Shipwater

08.12.2012, 22:48

Humpel

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Das wurde aber soweit ich weiss noch nicht in allgemeiner Form gemacht. Aber es geht ziemlich analog wie ein Spezialfall der auch im Skript steht.

Gruß
Humpel

08.12.2012, 23:02

shipwater

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Ist nicht schwer nachzurechnen für 2x2-Matrizen.

Gruß Shipwater

08.12.2012, 23:07

Humpel

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Zitat:

Original von shipwater
Ist nicht schwer nachzurechnen für 2x2-Matrizen.

Gruß Shipwater

Behaupte ich ja nicht, nur du darfst es eben nicht einfach so benutzen...

Gruß
Humpel

08.12.2012, 23:22

shipwater

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An "einfach so benutzen" hab ich ja auch nicht gedacht sondern eher an $\begin{eqnarray*} 1=\det(I_2)=\det(AA^T)=\det\left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\right)=...=(\det(A))^2 \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

09.12.2012, 13:06

charlydelta

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Hallo Leute smile

Ich hab ne kleine Frage zum a)-Teil dieser Aufgabe, die verlangt dass man zeigen soll dass H eine Untergruppe von GLp(R) ist. Als Hinweis steht da, dass das Inverse der Transponierten Matrix A gleich der Transponierten, Inversen Matrix A sei.
Ich kann genau mit diesem Hinweis nichts anfangen, ich habe als Beispiel einfach die Einheitsmatrix I gewählt:
Wenn man I invertiert kommt I raus, und wenn man sie transponiert ebenso.
Das heißt I ist Element von H, somit ist H nicht leer und eine Untergruppe von GLp(R), denn I ist auch Element dieser Gruppe.
Ist das zu einfach gedacht?

09.12.2012, 13:12

shipwater

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Das Untergruppenkriterium verlangt doch aber mehr als nur $\begin{eqnarray*} H \neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

09.12.2012, 13:16

charlydelta

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Guter Punkt ^^
Okay, Aufgabe 2 war ja auch eine gute Vorbereitung für die Aufgabe.
Ich denke an Anlehnung daran kann man diese Teilaufgabe gut lösen smile

Vielen Dank für deinen Tipp, shipwater smile

09.12.2012, 14:33

Racoon

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Ich komm mit dem Beweis überhaupt nicht klar. Im Script hab ich nur das Beispiel 4.2.9 gefunden. Das hatte ich mir auch schon vorher lange angeschaut, aber es hilft mir nicht, da sich diese Aufgabe auf einen Spezialfall bezieht. Wenn ich versuche, die Terme 1-4) von oben umzuformen, komme ich nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} 1 = det(I_2) = 1 \cdot 1 = (a^2 + b^2) \cdot (c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = (ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 \end{eqnarray*}$

Doch dann komm ich einfach nicht mehr weiter, denn wegen 2) gilt zwar ac = -bd (bei 3) muss das Gleiche stehen, hab gerade gemerkt, dass ich mich in meinem ersten Post verschrieben habe), aber das Minus verschwindet durch das Quadrat und so kürzt sich nichts.

Was mach ich falsch? unglücklich

09.12.2012, 17:39

Racoon

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Kann mir wirklich keiner helfen? Ich komm mir richtig dumm vor, weil alle außer mir wissen was zu tun ist, aber ich komm echt nicht weiter. unglücklich

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