Darstellenden Matrix Polynome

09.12.2012, 19:54

Mathelehrer

Darstellenden Matrix Polynome

Meine Frage:
Hallo,

ich stelle jetzt tatsächlich doch selbst eine Frage.

Die Aufgabe lautet:
$\begin{eqnarray*} P_{n}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ bezeichne die Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad kleiner gleich n.
Wir betrachten die Abbildung:
? : $\begin{eqnarray*} {P_{2}(\mathbb R )\to P_{3}(\mathbb R )} \end{eqnarray*}$ mit ? (p)(x) := xp(x),
die Elemente $\begin{eqnarray*} p_{i}(x) := x^{i},q_{i}(x):= (x+1)^{i} \end{eqnarray*}$ für i = 0,1,2,3 und die Basen
B = ( $\begin{eqnarray*} p_{0},p_{1},p_{2} \end{eqnarray*}$ )
C = ( $\begin{eqnarray*} p_{0},p_{1},p_{2},p_{3} \end{eqnarray*}$ )
von $\begin{eqnarray*} P_{2}(\mathbb R ) bzw. P_{3}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$

Bestimme $\begin{eqnarray*} M_{C}^{B} \end{eqnarray*}$ (?)

Meine Ideen:
Jetzt muss ich doch einfach ? $\begin{eqnarray*} (p_0) \end{eqnarray*}$ (von B) durch $\begin{eqnarray*} p_0,p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ (von C) darstellen und erhalte die erste Spalte (2 und 3 Spalte analog)

kann ich mir jetzt irgendwas raussuchen was eben x ergibt?

also 1 x $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ , 0 x $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ , 0 x $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ 0 x $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$

so dass ich am Ende die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
erhalte
???????
Vielen Dank für alle hilfreichen Antworten

10.12.2012, 10:44

klarsoweit

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RE: Darstellenden Matrix Polynome

Zitat:

Original von Mathelehrer
kann ich mir jetzt irgendwas raussuchen was eben x ergibt?

also 1 x $\begin{eqnarray*} p_0 \end{eqnarray*}$ , 0 x $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ , 0 x $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ 0 x $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$

Das Problem ist nur, daß $\begin{eqnarray*} 1 \cdot p_0 + 0 \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 + 0 \cdot p_3 \neq x \end{eqnarray*}$ ist. smile

10.12.2012, 16:08

RavenOnJ

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RE: Darstellenden Matrix Polynome

Zitat:

Original von Mathelehrer

so dass ich am Ende die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrix sollte wohl eher so aussehen:

$\begin{eqnarray*} M:= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist

$\begin{eqnarray*} M\cdot \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder als Abbildung eines Polynoms

$\begin{eqnarray*} f(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 ) = a_0 x+a_1 x^2 + a_2 x^3 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} f:P_2(\mathbb{R})\to P_3(\mathbb{R}) p\mapsto xp \end{eqnarray*}$

10.12.2012, 22:32

Mathelehrer

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Hallo,

vielen Dank für die Antworten habe den fehler gefunden.

Aufgabe teil 2 ändert die Basis $\begin{eqnarray*} C^{'} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q_{i}(x) := (x+1)^{i} \end{eqnarray*}$

ist die darstellende Matrix
$\begin{eqnarray*} M_{C^{'}}^{B} \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn das stimmt könnte mir bitte jemand den formal korrekten Lösungsweg aufschreiben?

Normalerweise schreibe ich halt eienn Text zu der Lösung (die sogar häufig stimmt) bekomme aber immer sehr viele Punkte abgezogen, weil der Weg halt auf deutsch und nicht in mathe ist...

11.12.2012, 10:07

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Zitat:

Original von Mathelehrer
Aufgabe teil 2 ändert die Basis $\begin{eqnarray*} C^{'} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q_{i}(x) := (x+1)^{i} \end{eqnarray*}$

Auch hier mußt du die jeweiligen Bilder als Linearkombination von Vektoren aus C' darstellen. Mache dazu jeweils einen Ansatz zur Bestimmung der Koeffizienten. Und wenn du das ordentlich beschreibst, solltest du keinen Punktabzug bekommen.

12.12.2012, 12:36

Mathelehrer

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ich denke ich bring mal ein Beispiel dafür was ich meine.

In einer früheren Aufgabe sollten wir Aussagen über die komplexe Konjugation zeigen.
u. a.
$\begin{eqnarray*} Z_{1} + Z_{2} =Z_{1} + Z_{2} \end{eqnarray*}$ wobei der erste Term komplett negiert ist und beim zweiten Term jeweils nur Z (also ein strich drüber) hoffe ihr wisst was ich meine

ich habe zuerst Z1 definiert = a1 + ib1
und Z2 = a2 + ib2
und habe halt einfach etwas umgeformt bis das dastand was ich zeigen sollte.
ich habe alles genauso wie in der musterlösung. Der einzige Unterschied ist, das ich direkt mit (a1 + ib1) + (a2 + ib2) komplett negiert angefangen habe. In der Musterlösung wurde aber mit Z1 + Z2 komplet negiert angefangen.
Weil mir das Z1 + Z2 "gefehlt hat"
habe ich nur die hälfte der Punkte bekommen.

12.12.2012, 13:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathelehrer
In einer früheren Aufgabe sollten wir Aussagen über die komplexe Konjugation zeigen.
u. a.
$\begin{eqnarray*} Z_{1} + Z_{2} =Z_{1} + Z_{2} \end{eqnarray*}$ wobei der erste Term komplett negiert ist und beim zweiten Term jeweils nur Z (also ein strich drüber) hoffe ihr wisst was ich meine

Also dies: $\begin{eqnarray*} \overline{Z_1 + Z_2} = \overline{Z_1} + \overline{Z_2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathelehrer
Weil mir das Z1 + Z2 "gefehlt hat"
habe ich nur die hälfte der Punkte bekommen.

Das ist schon etwas krass und da würde ich auch protestieren. Ich würde da maximal 10% der Punkte einbehalten. Vielleicht sollte mit solch einer harten Bestrafung erreicht werden, daß auf solche eher formalen Dinge mehr geachtet wird.

12.12.2012, 13:15

Mathelehrer

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Also dies: $\begin{eqnarray*} \overline{Z_1 + Z_2} = \overline{Z_1} + \overline{Z_2} \end{eqnarray*}$

ja genau das meinte ich.

Mit dem protestieren ist so eine Sache. Ich mache nämlich eine mündliche Prüfung.
Und selbst wenn mein Prof. versucht objektiv zu bleiben gehen bei mündlichen Prüfungen die subjektiven Eindrücke sehr stark mit ein.

Ich schreibe heute Abend nochmal alles so auf wie ich es abgeben werde. Könnte dann jemand rüber schauen ob da irgendwa dann fehlt , " .) oder halt was in der richtung.

An der Stelle vielleicht auch mal ein großes Lob an dieses Forum hier!

12.12.2012, 13:45

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Mathelehrer
negiert

Du solltest "komplex konjugiert" schreiben. "Negiert" wäre

$\begin{eqnarray*} a + bi\mapsto {\color{red}-}a -bi \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} a + bi\mapsto a -bi \end{eqnarray*}$

Damit keine Missverständnisse auftreten, vor allem in einer Prüfung geschockt

12.12.2012, 17:40

Mathelehrer

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heir mein Lösungsweg:

a) $\begin{eqnarray*} M_{C}^{B} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi (p_{0}) = p_{1} \end{eqnarray*}$ = 0 x $\begin{eqnarray*} p_{0} \end{eqnarray*}$ + 1 x $\begin{eqnarray*} p_{1} \end{eqnarray*}$ + 0 x $\begin{eqnarray*} p_{2} \end{eqnarray*}$ + 0 x $\begin{eqnarray*} p_{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi (p_{1}) = p_{2} \end{eqnarray*}$ = 0 x $\begin{eqnarray*} p_{0} \end{eqnarray*}$ + 0 x $\begin{eqnarray*} p_{1} \end{eqnarray*}$ + 1 x $\begin{eqnarray*} p_{2} \end{eqnarray*}$ + 0 x $\begin{eqnarray*} p_{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi (p_{2}) = p_{3} \end{eqnarray*}$ = 0 x $\begin{eqnarray*} p_{0} \end{eqnarray*}$ + 0 x $\begin{eqnarray*} p_{1} \end{eqnarray*}$ + 0 x $\begin{eqnarray*} p_{2} \end{eqnarray*}$ + 1 x $\begin{eqnarray*} p_{3} \end{eqnarray*}$

daraus resultiert die Matrix:

$\begin{eqnarray*} M_{C}^{B} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} M_{C^{'}}^{B} \end{eqnarray*}$

mit:
$\begin{eqnarray*} q_{0} \end{eqnarray*}$ = 1
$\begin{eqnarray*} q_{1} \end{eqnarray*}$ = 1 + x
$\begin{eqnarray*} q_{2} \end{eqnarray*}$ = 1 + 2x + x^2
$\begin{eqnarray*} q_{3} \end{eqnarray*}$ = 1 + 3x + 3x^2 + x^3

$\begin{eqnarray*} \phi (p_{0}) \end{eqnarray*}$ = x = -1 x $\begin{eqnarray*} q_{0} \end{eqnarray*}$ + 1 x $\begin{eqnarray*} q_{1} \end{eqnarray*}$ + 0 x $\begin{eqnarray*} q_{2} \end{eqnarray*}$ + 0 x $\begin{eqnarray*} q_{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi (p_{1}) \end{eqnarray*}$ = x^2 = 1 x $\begin{eqnarray*} q_{0} \end{eqnarray*}$ + -2 x $\begin{eqnarray*} q_{1} \end{eqnarray*}$ + 1 x $\begin{eqnarray*} q_{2} \end{eqnarray*}$ + 0 x $\begin{eqnarray*} q_{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi (p_{2}) \end{eqnarray*}$ = x^3 = -1 x $\begin{eqnarray*} q_{0} \end{eqnarray*}$ + 3 x $\begin{eqnarray*} q_{1} \end{eqnarray*}$ + -3 x $\begin{eqnarray*} q_{2} \end{eqnarray*}$ + 1 x $\begin{eqnarray*} q_{3} \end{eqnarray*}$

(das werd ich natürlich für die Abgabe ausführlicher hinschreiben und ausrechnen um zu zeigen, dass das auch x,x^2,x^3 ist)

daraus resultiert die Matrix:

$\begin{eqnarray*} M_{C^{'}}^{B} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

fehlen da jetzt noch irgendwelche formalitäten?

zu der Konjugation und Negation dann eine Frage:
Wenn nichts dabeisteht, woher weiss ich dann ob $\begin{eqnarray*} \overline{Z_1 + Z_2} \end{eqnarray*}$ negiert oder kunjugiert bedeuten soll?

13.12.2012, 01:08

RavenOnJ

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Bei komplexen Zahlen wird die Konjugation fast immer durch einen Überstrich gekennzeichnet.

13.12.2012, 09:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathelehrer
fehlen da jetzt noch irgendwelche formalitäten?

Also für mich wäre das so ok.

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