Abbildungsmatrix
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09.12.2012, 20:44 Kiki91 Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix
Meine Frage:
Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter: Es sei d: Pol3\Rightarrow Pol3R die Abbildung, die einem Polynom seine Abbildung zuordnet. Geben Sie die Matrix BdB an. (B ist eine Basis von Pol3R: 1,1+X,1+X+X^2,1+X+X^2+X^3) ; Pol3R= a0+a1X+a2X^2+a3x^3

Meine Ideen:
Ich bin folgendermaßen vorgegeangen:
Ich habe erst d(1); d(1+X); d(1+X+X^2); d(1+X+X^2+X^3) berechnet d.h. ich habe 1; 1+X; 1+X+X^2;1+X+X^2+X^3 abgeleitet.
Also ist
d(1)= 0 , d(1+X)=1 , d(1+X+X^2)=1+2X , d(1+X+X^2+X^3)=1+2X+3X^2
Danach habe ich die Koordinanten bezüglich der Basis B berechnet durch Linearkombination z.B
1=s+b*(1+X)+c*(1+X+X^2)+d*(1+X+X^2+X^3)
Als Matrix habe ich herausbekommen:
erste Spalte: (0,0,0,0); zweite Spalte: (1,0,0,0); dritte Spalte: (-1,2,0,0); dritte Spalte: (-1,-1,3,0)
Ich weiß aber, dass das falsch ist. Könnt ihr mir weiterhlefen?
10.12.2012, 10:37 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Zitat:
Original von Kiki91
Danach habe ich die Koordinanten bezüglich der Basis B berechnet durch Linearkombination z.B
1=s+b*(1+X)+c*(1+X+X^2)+d*(1+X+X^2+X^3)

Richtig ist: d(1) = 0 = s+b*(1+X)+c*(1+X+X^2)+d*(1+X+X^2+X^3)

Ansonsten kann ich keinen Fehler finden. Wieso meinst du, daß das falsch ist?
10.12.2012, 11:17 kiki91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Ich denke, dass meine Lösung wegen der nächsten Aufgabe falsch ist, die darauf aufbaut.
Die Aufgabe war: Bestimmen Sie den Kern der Abbildung D: R4 nach R4: v nach Bdb v. Bestimmen Sie die Dimension des Bildes von D. Für dimBild(D) habe ich 3 herausbekommen. DimKern(D) ist Null, aber das stimmt nicht mit der dimensionsformel überein. Die ist ja: Dim(R4)=DimKern(D)+DimBild(D)

Hier ist der Link mit den Aufgaben(H24)
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/s...gen/Blatt07.pdf
10.12.2012, 11:35 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Zitat:
Original von kiki91
DimKern(D) ist Null

Wieso sollte das so sein? Sprich: wie bist du darauf gekommen? verwirrt
10.12.2012, 15:34 kiki91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Die Spaltenvektoren der Matrix, die ich bei (b) berechnt habe, sind linear unabhängig. Für den Kern bekomme ich also den Nullvetor. Ist dimKern(D) dann 1?
10.12.2012, 15:39 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Wie dieses? verwirrt Du hast einen Nullvektor dabei. Also können die nicht linear unabhängig sein.
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10.12.2012, 15:46 kiki91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Stimmt, denn Nullvektor habe ich nicht beachtet. Dann bilden die Vektoren aber ein Erzeugendensystem des R3?
Wi bestimme ich dann den Kern der Abbildung? Ich bin ein bisschen verwirrt verwirrt
10.12.2012, 16:03 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Zitat:
Original von kiki91
Stimmt, denn Nullvektor habe ich nicht beachtet. Dann bilden die Vektoren aber ein Erzeugendensystem des R3?

Nun ja, ich würde eher sagen: ein Erzeugendensystem eines Unterraums des R^4 mit Dimension 3.

Zitat:
Original von kiki91
Wi bestimme ich dann den Kern der Abbildung? Ich bin ein bisschen verwirrt verwirrt

Normal wie sonst auch. Du hast doch die Abbildungsmatrix, oder nicht?
10.12.2012, 16:31 kiki91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Dann sollte doch der Kern der Nullvektor sein?
11.12.2012, 10:01 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Na ja, der Nullvektor ist immer im Kern. Aber da gibt es noch mehr. Wie sieht denn nun deine Abbildungsmatrix aus?
11.12.2012, 16:52 kiki91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Meine Abbildungsmatrix sieht so aus:

0 1 -1 -1
0 0 2 -1
0 0 0 3
0 0 0 0

Also kann der Kern doch nur der Nullvektor sein?
11.12.2012, 16:56 Palästinenser Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Zitat:
(ich habe keine große Klammer hinbekommen)


Wenn du mit LateX schreibst;

code: 
1:

\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}


Dann sieht das so aus;



Du kannst unten auf den "Formeleditor" klicken, dann auf einen der Vektoren die in der Auswahl sind und schon hast alles was du brauchst.


Gruß

Palästinenser
12.12.2012, 09:33 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Zitat:
Original von kiki91
Meine Abbildungsmatrix sieht so aus:

0 1 -1 -1
0 0 2 -1
0 0 0 3
0 0 0 0

Also kann der Kern doch nur der Nullvektor sein?

Mit Latex:

Die einfachsten Überlegungen (und die sollte man schon drauf haben) sagen mir: Anzahl Spalten (= 4) minus Rang der Matrix (= 3) ergibt 1. Also hat der Kern die Dimension 1 und somit mehr als den Nullvektor.
12.12.2012, 19:05 kiki91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Darum ging es mir ja die ganze Zeit. Ich habe selbst festgestellt, dass der Rang der Matrix 3 beträgt und damit die dimension des Bildes ebenfalls 3. Laut der Dimensionformel beträgt die Dimension des Kerns also 1. Aber ich kann beim Kern nicht mehr als den Nullvektor feststellen. Wenn ich das LGS löse, dann bekomme ich für x2,x3 und x4 Null.
12.12.2012, 20:46 kiki91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Aus diesem Grund dachte ich, dass meine Abbildungsmatrix, die ich bei (b) berechnet habe, falsch ist, denn der Nulvektor hat die Dimension Null. Meine Dimensionsformel lautet somit: dim(R4)=3+0. Das kann aber nicht sein verwirrt
13.12.2012, 09:15 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Zitat:
Original von kiki91
Aber ich kann beim Kern nicht mehr als den Nullvektor feststellen. Wenn ich das LGS löse, dann bekomme ich für x2,x3 und x4 Null.

Und was ist mit x1? Muß das zwingend Null sein oder darf es auch was anderes sein?

Merke: hast du eine Nullspalte, so ist die zugehörige Variable wahlfrei. smile
13.12.2012, 16:19 kiki91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Verstehe Freude Dann wäre die Abbildungsmatrix doch korrekt.
Noch eine Frage: Das ist ja nur in dem Fall möglich, da meine Abbildung: R4 nach R4. Aber wenn sie von R3 nach R3 gehen würde, dann wäre dies nicht mehr der Fall. Dann wäre doch dim Ker= 0 und mein dimBild=3.
14.12.2012, 09:24 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix
Zitat:
Original von kiki91
Verstehe Freude Dann wäre die Abbildungsmatrix doch korrekt.

Gegenteiliges habe ich auch nie behauptet. smile

Zitat:
Original von kiki91
Noch eine Frage: Das ist ja nur in dem Fall möglich, da meine Abbildung: R4 nach R4. Aber wenn sie von R3 nach R3 gehen würde, dann wäre dies nicht mehr der Fall. Dann wäre doch dim Ker= 0 und mein dimBild=3.

Und wie sieht dann in diesem Fall deine Abbildung bzw. Abbildungsmatrix aus?
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