Dimension , Durchschnitt |
| 10.12.2012, 15:31 | dela86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Dimension , Durchschnitt Bei der Aufgabe a) soll ich verstehen welche Dimension ein Schnitt von zwei 3-Dimensionalen Unterräumen haben kann und in welchem Fall eine Basis von V enthalten ist. Meine Ideen: Zwei 3-Dimensionale Unterräume im Schnitt könnten doch 3-dim, 2-dim oder 1 dimensional sein oder? Welcher davon kann eine Basis von einem 6-Dimensionalen Vektorraum sein? Mir mangelt es hier am allgemeinen Verständnis |
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| 10.12.2012, 18:35 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Durchschnitt kann auch die Dimension 0 haben, genau so wie sich zwei verschiedene Geraden durch den Nullpunkt im Nullpunkt schneiden. |
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| 11.12.2012, 11:23 | dela86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok ich dachte das wäre dann 1-Dimensional, ob die sich jetzt in (0,0) oder in (1,1,1,1) schneiden ein punkt ist doch ein punkt. |
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| 11.12.2012, 11:37 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die Schnittmenge ein Punkt ist, dann muss es der Nullpunkt sein, da es sich um lineare Unterräume handelt. Der Nullpunkt gehört immer zur Schnittmenge zweier linearer Unterräume. |
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| 11.12.2012, 11:40 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Übrigens musst du noch die Bedingung beachten, der Durchschnitt kann also nicht 3-dimensional sein. |
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| 11.12.2012, 11:58 | dela86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das verstehe ich jetzt nicht, kannst du mir ein kleines Beispiel geben warum das nicht geht? |
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| 11.12.2012, 12:06 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stell es dir mal im 3-dimensionalen Raum vor: zwei Ebenen durch den Nullpunkt, die aber nicht übereinstimmen dürfen. Die Schnittmenge ist immer eine Gerade, niemals eine Ebene, denn diese Ebene müsste dieselbe sein wie und , woraus dann folgt im Widerspruch zur Voraussetzung. |
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| 11.12.2012, 12:08 | dela86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah ok 
aber in welchem fall ist nun eine Basis enthalten? also wie kann man das zeigen |
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| 11.12.2012, 12:14 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann, wenn die direkte Summe der Unterräume den gesamten Raum bildet. Da beide Unterräume 3-dimensional sind und der Gesamtraum 6-dimensional, ist dies für bestimmte Kombinationen von Unterräumen möglich. Dafür ist Bedingung, dass die Schnittmenge 0-dimensional ist. Dann lässt sich jeder Vektor des Raumes als Summe von jeweils einem Vektoren aus beiden Räumen schreiben. |
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