Extremwert - Trichter mit Kegel

12.02.2007, 08:14

Huly

Extremwert - Trichter mit Kegel

Hallo Leute! Ich habe da wieder einmal ein Problem, dass mich schon einige Zeit beschäftigt.

Folgende Aufgabe ist gegeben:
Ein Trichter hat die Form eines Kegels mit aufgesetztem Zylinder. die Kegelmantellinie s ist 3 mal so lang wie die Höhe des Zylinders. Wie groß muss der Winkel zwischen der Achse des Trichters und der Mantellinie gewählt werden, damit bei gegebener Zylinderhöe a das Trichtervolumen maximal wird ??

Mal abgesehen davon, dass ich keine Ahnung hab wie ich da nen Winkel rausfinden soll hab ich mal überlegt, wie die Aufgabe grundsätzlich zu lösen wäre: Ich hätte mir das folgendermaßen vorgestellt:

HB ist Volumen von Kegel und Zylinder:
$\begin{eqnarray*} V=\frac{r²\pi h}{3} + r² \pi h \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung:
Aus der Angabe geht hervor, dass der Umfang des Kegelbodens (Kegelmantellinie) 3 s ist, und die Höhe des Zylinders 1 s beträgt.

Meine Überlegung war jetzt folgendermaßen: Den Umfang eines Kreises kann ich ha mit U=2rpi berechnen. Wenn ich diese Gleichung umforme heit's auch: r= 2pi durch U ... und U ist bekanntlich ja in meinem falle 3s.

also schreibe ich:
$\begin{eqnarray*} r= \frac{2\pi}{3s} \end{eqnarray*}$

und dieses r kann ich jetzt bei der Hauptbedingung einsetzen, und für S nehm ich dann irgend eine zahl (z.b. 1) - und rechne das ganze aus (ableiten, umformen, etc...)

Kann ich dieses Beispiel so lösen, oder hab ich etwas wichtiges übersehen ??

12.02.2007, 08:34

klarsoweit

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RE: Extremwert - Trichter mit Kegel
Am besten klären wir erstmal Begriffe:

Zitat:

Original von Huly
HB ist Volumen von Kegel und Zylinder:
$\begin{eqnarray*} V=\frac{r²\pi h}{3} + r² \pi h \end{eqnarray*}$

Das erste h ist die Höhe des Kegels, das zweite h die Höhe des Zylinders. Da wäre es gut, diese Variablen mit einem index zu unterscheiden.

Zitat:

Original von Huly
Nebenbedingung:
Aus der Angabe geht hervor, dass der Umfang des Kegelbodens (Kegelmantellinie) 3 s ist, und die Höhe des Zylinders 1 s beträgt.

In meinem Weltbild ist die Kegelmantellinie die Strecke von der Spitze des Kegels bis zu einem Punkt auf dem Umfang des Kegelbodens. Kegelmantellinie s, Radius r und Höhe h des Kegels bilden daher ein rechtwinkliges Dreieck.

12.02.2007, 09:06

Huly

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aha, aha, ok! da kommen wir der sache schon näher! ;-)

ok, ich unterscheide jetzt zwischen hk (höhe - kegel) und hz (höhe zylinder)

die nebenbedingung lautet also:

$\begin{eqnarray*} r= \sqrt{(3s)²-hz²} \end{eqnarray*}$

dieses r kann ich nun in die HB einsetzten! und für s nehm ich dann irgend einen wert, z.b. 1 (also ist in der hb die Seite s vom Kegel: 9 und die höhe vom zylinder 1

12.02.2007, 09:22

klarsoweit

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Wie kommst du jetzt auf diese Formel? verwirrt

Es gilt: $\begin{eqnarray*} s^2 = r^2 + h_k^2 \end{eqnarray*}$
Desweiteren gilt: s = 3 * h_z

Stelle noch eine Formel für den gesuchten Winkel auf.

12.02.2007, 10:04

Huly

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Ok, sorry, da hab ich mich vertippt:

Also ich kann sagen:
(3*h_z)²=r²+h_k²

Umgeformelt heit's dann:
$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{(3*h_z)²-h_k²} \end{eqnarray*}$

12.02.2007, 10:23

klarsoweit

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OK. Das kannst du jetzt in die Volumenformel einsetzen.

12.02.2007, 10:25

Huly

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Super! Danke soweit!

mein Problem ist wohl, dass ich nicht genau arbeite, bzw. lese.... (aber i bin sicher nicht der einzige, dem es so geht... ;-)

Wink

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Extremwert - Trichter mit Kegel

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