Frage zur Konvergenz

Neue Frage »

sunshine21 Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zur Konvergenz
Guten Abend.

Es sei eine Folge in oder und bzw. . Wir sagen konvergiert gegen a oder
ist konvergent mit Grenzwert a falls zu jedem ein existiert mit für alle .

Was ich nicht verstehe ist das n0.
Da steht zu jedem Epsilon größer Null gib es ein n0, also z.B. für 0.1 und 0.11 und 0.25 oder 2. Alle diese Werte für Epsilon sind größer Null und haben ein n0.
Meine Frage ist warum?
Und welchen Wert hat n0, denn das k muss ja größer oder gleich n0 sein.
Ich verstehe den Sinn von n0 nicht und auch nicht welche bestimmen Wert es für ein Epsilon haben soll. Fängt man da bei 1 anzuzählen?
Könnte Ihr mir mit dem n0 bitte weiterhelfen?

Vielen Dank
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also eine Folge ist genau dann konvergent, wenn der Abstand der Folgeglieder zum Grenzwert beliebig klein wird, also kleiner als ein beliebiges Epsiolon > 0.

Schauen wir uns die Definition mal am Beispiel .

Diese Folge müsstes du auf jeden fall aus der Vorlesung kennen.

Wir rechnen jetz einfach mal Stumpf die Definition nach:

Es ist z.z.:






Ist aber grade:

.



So nun soll gelten:





Okay wir müssen also unser n so wählen das es größer ist als

Nehmen wir mal , dann steht da nichts anderes als



So ein n gibt es aber, da die Natürlichen Zahlen unbeschränkt sind.
Die Ungleichung ist also für alle erfüllt.

Für muss aber gelten

. So eine Natürliche Zahl gibt es ebenfalls.

Das für alle ( ist hierbei ein fester Index) die Ungleichung erfüllt ist.

Im letzten fall also für alle Natrülichen Zahlen die größer gleich 11 sind. Für alle
ist dann der Abstand der Folgeglieder zum Grenzwert kleiner als

Wie ich meinen Index wählen muss, hängt also vom gewählten Epsilon ab.

Wichtig ist nur, dass ich eine Natürliche Zahle finde, sodass der Abstand der Folgeglieder für jedes noch so kleine Epsilon beliebig klein wird.

Ich hoffe es hilft zumindest etwas weiter und beantwortet deine Frage zumindest teilweise. Ich bin mir nicht ganz sicher ob du genau darauf hinaus wolltes.

Ich hau mich jetz erstmal hin,

mfg. Hellsing Wink
sunshine21 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen lieben Dank Hellsing91,
du hast den Nagel auf den Kopf getroffen. Freude Freude

Ich habe nur zwei Fragen:

1.

Zitat:


Diesen Schritt hast du nur gemacht, weil es dann einfacher ist das n0 zu finden, oder?

2.

Und wie genau beweise ich, dass die Folge kongruent ist?
Also was zu zeigen ist habe ich verstanden, aber wir haben das ja nur für einige Beispiele gezeigt.
Wie wäre es mit vollständiger Induktion?

Nochmal danke smile
sunshine21 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir bitte jemand die zweite Frage beantworten?

Reicht es nur ein n0 für ein bestimmtes Epsilon zu finden?
Wenn ja, warum?
Und wenn nein, wie beweist man es dann allg.?

Dankeschön smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sunshine21
Reicht es nur ein n0 für ein bestimmtes Epsilon zu finden?

Ja, es reicht, wenn man für jedes epsilon ein n0 finden kann. Das n0 ist dann natürlich irgendwie von dem epsilon abhängig, üblicherweise so, daß man zu kleinerem epsilon ein größeres n0 nehmen muß.

Zitat:
Original von sunshine21
Wenn ja, warum?

Das ist eben die Definition.
sunshine21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Ja, es reicht, wenn man für jedes epsilon ein n0 finden kann. Das n0 ist dann natürlich irgendwie von dem epsilon abhängig, üblicherweise so, daß man zu kleinerem epsilon ein größeres n0 nehmen muß.


Oh, da habe ich mich wohl falsch ausgedrückt.

Ich meinte, wenn ich eine Folge auf Konvergenz untersuchen muss, reicht es dann wenn ich mir EIN Epsilon aussuche und dafür das n0 bestimme?

Ein Beispiel kann aber doch nicht ausreichen, oder? Muss das nicht irgendwie allgemeiner sein?


Und ich kann doch auch nicht einfach das hier hinschreiben:

und dann a_n durch die Folge und a durch den Grenzwert ersetzten.
Das reicht doch nicht...

Ich muss doch irgendwie beweisen, dass es für alle Epsilon größer 0 gilt.
Ich denke da immer an vollständige Induktion, aber das gilt ja nur für natürliche Zahlen.
Also wie beweise ich es?

Danke smile
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sunshine21
Ich meinte, wenn ich eine Folge auf Konvergenz untersuchen muss, reicht es dann wenn ich mir EIN Epsilon aussuche und dafür das n0 bestimme?

Ein Beispiel kann aber doch nicht ausreichen, oder? Muss das nicht irgendwie allgemeiner sein?

Was verstehst du unter "EIN Epsilon aussuchen"? Wenn du das meinetwegen für epsilon = 1/2 zeigst, ist das ja ganz nett, aber wie du selber sagst, mußt du alle epsilon > 0 betrachten.

Zitat:
Original von sunshine21
Ich muss doch irgendwie beweisen, dass es für alle Epsilon größer 0 gilt.
Ich denke da immer an vollständige Induktion, aber das gilt ja nur für natürliche Zahlen.
Also wie beweise ich es?

Du mußt quasi eine Formel finden, die dir sagt, wie man zu einem epsilon > 0 ein n_0 findet, so daß eben gilt:

Beispielsweise nimmt man bei der Folge a_n = 1/n ein n_0, das größer als 1 / epsilon ist. Ein derartiges n_0 existiert für jedes beliebige epsilon > 0.
sunshine21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal frohe Weihnachten klarsoweit smile

Zitat:
Original von klarsoweit
Du mußt quasi eine Formel finden...


1.Frage:
Und wie genau komme ich auf diese Formel?
Ich nehme an durch umstellen,erweitern,kürzen etc. ist sie dann dadurch schon bewiesen?

Ich nehme mal ein Beispiel.
Diese Folge soll auf Konvergenz untersucht werden:



1.Schritt: Ich schaue, ob die Folge überhaupt einen Grenzwert besitzt, wenn ja bestimme ich ihn.

Der Grenzwert ist 2/3.

2. Schritt: Nun muss ich zeigen:

2.Frage:
Und was genau soll ich jetzt machen?

In der Übung wurde nun der Bruch erweitert, gekürzt.. etc.
Bis das ganze so aussah:



Und dann wurde gesagt: "Jetzt können wir ganz grob abschätzen, da wir ja nicht an einem möglichst kleinen n0 interessiert sind"

3.Frage:
Ist "schätzen" mathematisch korrekt?
Und wieso sind wir nicht nach einem möglichst kleinen n0 interessiert?
Weil wir einfach ein n0 suchen, sodass das hier gilt: ? verwirrt

Dann wurde das hier hingeschrieben:



4.Frage:

Warum wurde das gerade so gemacht?
Git es da Regeln?
Und kann ich mir wirklich sicher sein, dass das stimmt?

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen, da ich ohne die Antworten auf diese Fragen nicht weiter weiß.
Hellsing91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich nehme mal ein Beispiel. Diese Folge soll auf Konvergenz untersucht werden: 1.Schritt: Ich schaue, ob die Folge überhaupt einen Grenzwert besitzt, wenn ja bestimme ich ihn. Der Grenzwert ist 2/3.


Das ist schonmal korrekt. Du musst den Grenzwert bei dieser Definition bereits kennen.
In einer Klausur würde ich übrigens nur die Definition nachrechnen, wenn dies gefordert ist.

Zitat:
2. Schritt: Nun muss ich zeigen:


Freude

Zitat:
2.Frage: Und was genau soll ich jetzt machen? In der Übung wurde nun der Bruch erweitert, gekürzt.. etc. Bis das ganze so aussah:


Naja man sollte den Bruch vll. so schreiben, dass man besser mit ihm umgehen kann:




Zitat:
Und dann wurde gesagt: "Jetzt können wir ganz grob abschätzen, da wir ja nicht an einem möglichst kleinen n0 interessiert sind"


Richtig. Bei Konvergenz interessiert uns nicht, was die ersten Folgeglieder machen. Wichtig ist nur, dass es irgendwann eine Zahl gibt, sodass für alle weiteren Natürlichen zahlen mit beliebigen Epsilon >0 gilt.

Zitat:
Ist "schätzen" mathematisch korrekt? Und wieso sind wir nicht nach einem möglichst kleinen n0 interessiert?


Kommt drauf an was du unter mathematisch korrekt verstehst. Wie bereits oben erwähnt, sind wir nicht daran interessiert was die ersten Glieder der Folge machen. Es ist nur wichtig, dass es irgendeine Natrüliche Zahl gibt, sodass stehts der Abstand der Folgeglieder zum Grenzwert kleiner als Epsilon ist.

Zitat:
dann wurde das hier hingeschrieben: 4.Frage: Warum wurde das gerade so gemacht?


Naja, ich denke mal es ist am offensichtlichsten da:



Wenn wir also im Zähler nichts abziehen, machen wir den Bruch größer.

Außerdem ist:




Deswegen gilt:




Nun einfach die Beträge auflösen und man erhält:



Zitat:
Git es da Regeln?


Nein die gibt es nicht. Abschätzen ist einfach eine Sache der Übung. Wie man abschätzt ist im grunde auch egal, solange man die Abschätzung nachvollziehen kann.

Zitat:
Und kann ich mir wirklich sicher sein, dass das stimmt?


Ja das kannst du smile

Zitat:
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen, da ich ohne die Antworten auf diese Fragen nicht weiter weiß.


Ich hoffe es hat dir weiter geholfen.

Mfg. Hellsing Wink
sunshine21 Auf diesen Beitrag antworten »

Gott Gott Hellsing91 du bist der beste Mit Zunge

Jetzt habe ich alles verstanden smile

Das einzige was mir fehlt sind Übungen..

Weißt du/weiß jemand, wo ich Übungen zu dem Thema Kongruenz von Folgen mit epsilon-Beweis finden kann ( + Lösungen ) ?
Bei Google findet man nichts brauchbares.
Oder soll ich mir eine raussuchen und dann einfach hier im matheboard vorrechnen?
Denn passende Aufgaben ohne Lösungen findet man viele.

Vielen Dank noch einmal smile
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal 2 Seiten

***

Edit: Verlinkungen zu externen Filehostern sind unerwünscht und werden entfernt. LG Iorek
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »