Herleitung der Hesse'schen Normalenform

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ich123 Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Hesse'schen Normalenform
Hallo,
ich soll am Dienstag in einem Kurzvortrag die Herleitung der Hesse'schen Normalenform anhand einer Seite im Klett-Buch "Analytische Geometrie mit linearer Algebra" erklären. Leider komme ich nicht weiter, kann mir jemand helfen?

Der erste Teil im Buch sieht so aus:
http://home.arcor.de/dani-b/hesse1.jpg


Dazu habe ich mir dann aus einer früheren Aufgabe passende Zahlen gesucht (für Ebenengleichung, Gerade, Punkte) und die Skalarprodukte berechnet. Sie waren alle gleich. Aber was bedeutet das dann?


Dann der zweite Teil:
http://home.arcor.de/dani-b/hesse2.jpg

Die beiden Sätze oben verstehe ich noch, aber dann hört es auf... geschockt
Woher kommt die 1 und woher cos delta?
Und wie ist die nächste Zeile zu verstehen?

Das mit negativ und positiv glaube ich verstanden zu haben: Erhalte ich ein negatives Ergebnis, so liegt der Punkt R z. B. unterhalb der Ebene. (Richtig?)

Wäre toll, wenn mir jemand hilft!

PS: Ich hab auch schon im Forum nach ähnlichen Themen gesucht und auch was gefunden, aber da waren die Formeln anders wie hier bei mir und deshalb konnte ich das leider nicht auf meine Fragen übertragen.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

das Skalarprodukt ist wie folgt Definiert, seien dazu a,b aus dem R³



Da das Skalarprodukt mit dem normierten Einheitsvektor gebildet wird folgt also



Die 1 ist schlichtweg der Betrag von
Schau dir nochmal die Vorrausgesetzte Ebene an dann solltest du den Zusammenhang verstehen.


PR = OR - OP = r - p ist einfach das Ausrechnen des Vektors PR

Das d sollte dir aus der Ebenendefinition etwas weiter höher bekannt vorkommen.



Ich halte es übrigens nicht für Sinnvoll so einen Beweis einfach abzuschreiben, aber das musst du selber wissen!
ich123 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort!
Hat mir schonmal geholfen. Aber ich habe noch nicht alles verstanden...

Mir ist jetzt klar, woher cos (d) kommt, was die 1 bedeutet usw. aber wieso taucht dieser cos (der, wenn ich es richtig verstanden habe, den Winkel zwischen Vektor PR und Vektor n0 darstellt) in der nächsten Umformung nicht mehr auf?

und: ist das bei der endgültigen Formel für den Abstand d zwischen den beiden Punkten ein Multiplikationszeichen oder ein "Skalarzeichen"? verwirrt

PS: Ich möchte die Herleitung nicht "abschreiben", sondern zunächst einmal verstehen, um sie den anderen erklären zu können. Aber die meisten der aufgeführten Schritte muss ich schon machen, sonst versteht das doch niemand, oder? Wenn du einen guten Tip für mich hast, wie ich das leicht verständlich machen kann: immer her damit! Augenzwinkern
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und: ist das bei der endgültigen Formel für den Abstand d zwischen den beiden Punkten ein Multiplikationszeichen oder ein "Skalarzeichen"?


Denk nach, welche Arten kennst du Vektoren zu multiplizieren?

So wie es aussieht verwenden sie den Cosinus in dem Beweis nicht weiter, da sie PR direkt durch p - r ersetzen!
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