Darstellungsmatrizen + Basiswechsel

13.12.2012, 12:24	CrAc	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrizen + Basiswechsel Moin! Folgende Aufgabe: [attach]27334[/attach] Ich weiß einfach nicht wie ich starten soll. Ich weiß was Darstellungsmatrizen sind, wie ich sie berechne etc. Aber das Problem was ich hier habe ist, dass die angegebenen Koordinaten keine Bilder der Standardbasis ist. Kann ich einfach sagen, dass die Urbilder der Koordinaten eine Basis C sind? Also: $\begin{eqnarray} C = \left\{\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ Dann ist die Darst-Matrix: $\begin{eqnarray} M^{C}_{B}(f) = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 0 \\ 5 & 4 & -3 \\ -1 & 8 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sind das soweit richtige Annahmen? Wie mache ich weiter? Viele Grüße Edit Equester: Bitte Bilderl intern hochladen.
13.12.2012, 13:05	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Darstellungsmatrizen + Basiswechsel Du brauchst jetzt die Basiswechselmatrix $\begin{eqnarray} W_C^B \end{eqnarray}$ für den Wechsel der Basis von B nach C. Diese ist die Inverse der Basiswechselmatrix $\begin{eqnarray} W_B^C \end{eqnarray}$ . Die Spalten der Matrix $\begin{eqnarray} W_B^C \end{eqnarray}$ wiederum entsprechen den Basisvektoren von C.
13.12.2012, 18:48	CrAc	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich wie folgt berechnet: $\begin{eqnarray} W^{C}_{B} (f)^{-1} = \begin{pmatrix} 2/5 & -1/5 & 3/5 \\ 1/5 & 2/5 & -1/5 \\ -2/5 & 1/5 & 2/5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was fange ich denn jetzt mit der Wechselmatrix an (von der ich vorher noch nie gehört habe)? Wie komme ich denn jetzt an die $\begin{eqnarray} M_{B}^{B}(f) \end{eqnarray}$ ran?
14.12.2012, 10:11	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Wechselmatrix eigentlich nichts mit der Abbildung f zu tun hat, ist $\begin{eqnarray} (W^{C}_{B})^{-1} \end{eqnarray}$ die bessere Schreibweise. Die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} M_{B}^{B}(f) \end{eqnarray}$ ist jetzt gleich $\begin{eqnarray} M_{B}^{C}(f) \cdot W_{C}^{B} \end{eqnarray}$ . Man kann sich das jetzt so vorstellen: $\begin{eqnarray} W_{C}^{B} \cdot v \end{eqnarray}$ liefert die Darstellung eines Vektors v in der Basis C. Multipliziert man nun dieses Ergebnis mit $\begin{eqnarray} M_{B}^{C}(f) \end{eqnarray}$ , so bekommt man das Bild von v (also f(v)) bezüglich der Basis B.
14.12.2012, 15:09	CrAc	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} M_{B}^{B}(f) = M_{B}^{C} (f) \cdot W_{C}^{B} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 4 & 0 & 1\\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Ganze macht Sinn, da unser Tutor ein Beispiel angebracht hat, wo er von hinten angesehen (übertragen auf die Aufgabe) Pfeile von B -> C, C-> C, C -> B gemalt hat bei $\begin{eqnarray} (M_{B}^{C})^{-1}\cdot W_{C}^{B}(f) \end{eqnarray}$ . Quasi von hinten oben nach vorne unten. Nur dass wir da drei Matrizen multipliziert haben. Das Einzige was mir jetzt noch fehlt ist eine Argumentative Grundlage, vorallem für mein Verständnis. Auf welcher Basis haben wir das denn jetzt so machen dürfen? Ist das ein Spezialfall der Transformationsformel? ( $\begin{eqnarray} M^{A}_{B}(f) = B^{-1}AB \end{eqnarray}$ )
14.12.2012, 15:56	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja, wenn die Bezeichnungen stimmen. Jetzt hast du nämlich A und B als Bezeichner für Basis und Matrix.
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