unendlich und n-dimensional

13.12.2012, 21:27

mathe_maed'l

unendlich und n-dimensional

Meine Frage:
Hallo zusammen.

Ich sitze vor folgender Aufgabe und kann damit noch nicht wirklich viel anfangen:

a) Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ genau dann unendlich domensional ist, wenn es in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ eine unendliche aufsteigende Kette $\begin{eqnarray*} U_{0} \subset U_{1} \subset U_{2} \subset ...\subset V \end{eqnarray*}$ von Unterräumen gibt (jeweils strikte Inklusion).

b) Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ genau dann eine n-elementige l.u. Menge in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , wenn es genau $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Elemente (inklusive $\begin{eqnarray*} \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ) hat. Hinweis: Zeigen Sie zunächst: Es gibt genau dann eine n-elementige l.u. Menge in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , wenn es eine (n+1)-elementige Kette von Unterraumen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gibt.

Meine Ideen:
Also:
Endlich dimensional heißt (allgemein): $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ hat eine endliche Basis, d.h. $\begin{eqnarray*} dim &V\textless \infty \end{eqnarray*}$ .
Bedeutet, dass unendlich dimensional heißt, $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist nicht endlich, d.h. $\begin{eqnarray*} dim &V=\infty \end{eqnarray*}$ .
L.u. bedeutet, dass die Lambdas =0 bzw. die Charakteristik ungleich 0 ist.
Strikte Inklusion bedeutet (allgemein), dass die Menge A und B $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ , genau dann wenn für alle x gilt: $\begin{eqnarray*} x\in A \rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$ und wenn es ein x gibt mit: $\begin{eqnarray*} x {\not\in} A \wedge x\in B \end{eqnarray*}$ .

Das ist alles was ich weiß.
Hoffe mir kann jemand weiter helfen. Danke.

13.12.2012, 21:58

watcher

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Hallo,

Zitat:

Bedeutet, dass unendlich dimensional heißt, $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist nicht endlich, d.h. $\begin{eqnarray*} dim &V=\infty \end{eqnarray*}$ .

Nicht ganz. Um ein unendlich dimensionaler Vektorraum zu sein muss V unendlich viele Elemente haben, es gilt aber nicht die Umkehrung. Die reellen zahlen sind als reeller VR eindimensional enthalten aber unendlich viele Elemente.
Sinnvoller wäre hier zu verwenden:
Keine endliche Menge ist Erzeugendensystem (Damit geht die Hinrichtung)

Für die Rückrichtung könnte man folgende Bemerkung verwenden:
Sind $\begin{eqnarray*} U\subseteq W \subseteq V \end{eqnarray*}$ Unterräume so gilt:
$\begin{eqnarray*} dim(U) \leq dim (W) \end{eqnarray*}$
Ist $\begin{eqnarray*} U \subset W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} dim(W) < \infty \end{eqnarray*}$ so gilt sogar:
$\begin{eqnarray*} dim(U) < dim(W) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ genau dann eine n-elementige l.u. Menge in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , wenn es genau $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Elemente (inklusive $\begin{eqnarray*} \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ) hat.

Dem Satz fehlen einige Wörter. Ich kann hier keinerlei möglichen Sinn entdecken.

13.12.2012, 22:21

mathe_maed'l

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Oh, da bin ich wohl in der Zeile verrutscht. Sorry.
Nochmal:
Beweisen Sie, dass V genau dann n-dimensional ist, wenn die längste Kette von Unterräumen von V (bez. $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ genau n+1 Elemente (inklusive $\begin{eqnarray*} \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ und V) hat.

Wie muss ich bei den Aufgaben beginnen? Mir fehlt der Ansatz...

13.12.2012, 22:34

watcher

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Bei der a) hab ich schon Ideen geschrieben (gibt's da Unkllarheiten?)

Bei der b) hilft auch meine Bemerkung.

14.12.2012, 09:07

mathe_maed'l

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Was ich bei a nicht vestehe, ist die "unendliche aufsteigende Kette".
Bei b müsste ich doch erst zeigen das es eine (n+1)-elementige Kette gibt ...

14.12.2012, 14:49

watcher

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"unendlich aufsteigende Kette":
Die Kette $\begin{eqnarray*} U_0 \subseteq U_1 \subseteq U_2 \subseteq \end{eqnarray*}$ ist unendlich lang. Oder was ist es genauer was du nicht verstehst?

Bei der b): Nimm eine Basis von V. U_n werde erzeugt von den ersten n Elemente der Basis

14.12.2012, 17:41

mathe_maed'l

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Ok.
Klingt bestimmt bescheuert, aber ich stehe irgendwie immer noch bei beiden Aufgaben auf dem Schlauch. Sorry.

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