Anzahl der Wörter m Länge ...

14.12.2012, 11:01

Brüpfel

Anzahl der Wörter m Länge ...

Wie viele Wörter gibt es, die aus 4 Buchstaben bestehen und sich aus einem Wort der Länge 9 bedienen können, von denen kein Buchstabe doppelt vorkommt?

Ich hätte da jetzt vermutet dass für den ersten Buchstaben 9, den zweiten 8, ... also 9*8*7*6 Möglichkeiten in Betracht kommen.

Wie viele Wörter gibt es, die aus 4 Buchstaben bestehen und sich aus einem Wort der Länge 9 bedienen können, wobei Buchstaben mehrfach vorkommen: {a,a,b,c,d,d,d,e,f}

Da habe ich keine Idee verwirrt

14.12.2012, 11:12

Rambo

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Soll dies für dein speziell angegebenes Wort {a,a,b,c,d,d,d,e,f} berechnet werden?
Es genügt, die Anzahl der Permutationen 2-elementuger Mengen {a,a} bzw. 3-elementiger Mengen {d,d,d} zu betrachten und diese aus deiner ersten Teilaufgabe "rauszunehmen".

14.12.2012, 11:17

Brüpfel

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Hallo,

ja speziell für meine Aufgabe. Der allgemeine Fall interessiert mich aber auch.
Also ob es da eine Regel gibt.

Soll ich dann also die 9*8*7*6 Möglichkeiten teilen durch (2*6) ?
Also {a,a} und {a,a} sind ja gleich. Und dass sind 2 Möglichkeiten.
Und {d,d,d} da sind es dann wohl 6. verwirrt

14.12.2012, 17:21

Rambo

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Sollte richtig sein Freude

14.12.2012, 17:43

Dopap

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deine Wortlänge beträgt 4.
dein Alphabet hat 9 Buchstaben. richtig ?

a.) mehrfachbelegung = Variationen sind es $\begin{eqnarray*} V_4^9 = 9^4 \end{eqnarray*}$ Wörter.

b.) einfachbelegung = Kombinationen $\begin{eqnarray*} K_4^9 = \binom 9 4 = \frac {9!} {4!\cdot 5!} \end{eqnarray*}$ Wörter

14.12.2012, 17:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rambo
Sollte richtig sein Freude

So einfach geht's ja nun nicht - ich finde es nicht gut, dass du, Rambo, diese falsche Lösung bestätigst. unglücklich

Man kommt hier leider nicht mit Dünnbrettbohren durch, die Sache ist so komplex, dass bei der Anzahlberechnung eine Fallunterscheidung wohl unumgänglich ist:

1.Fall: Alle vier ausgewählten Buchstaben sind verschieden

Es gibt 6 verschiedene Buchstaben a..f, das ergibt Variationsanzahl $\begin{eqnarray*} \frac{6!}{(6-4)!} = 360 \end{eqnarray*}$

2.Fall: Es gibt genau drei verschiedene unter den ausgewählten Buchstaben

Das unterteilt sich nochmal in "a kommt doppelt vor" sowie "d kommt doppelt vor". In beiden Fällen kann man noch zwei andere Buchstaben aus der Restmenge wählen und dann permutieren:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \binom{5}{2}\cdot \frac{4!}{2!} = 240 \end{eqnarray*}$

3.Fall: Sowohl a als auch d kommen je zweimal vor

Macht nur die Permutationen $\begin{eqnarray*} \frac{4!}{2!2!} = 6 \end{eqnarray*}$

4.Fall: d kommt dreimal vor

Der restliche Buchstabe stammt aus der Restmenge a,b,c,e,f, ergibt inklusive der Permutationen

$\begin{eqnarray*} 5\cdot \frac{4!}{3!} = 20 \end{eqnarray*}$

------------------------------------------

Summa summarum sind das 626 Wörter.

14.12.2012, 20:19

Rambo

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Ich finde es gut, dass du mich darauf aufmerksam machst. Hatte selbst gemerkt, dass das nicht passt, aber konnte keine Alternativlösung bieten. Gut, dass es Experten wie dich im Forum gibt.

16.12.2012, 16:07

Brüpfel

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gibt es für einen allgemeinen Fall, in dem aus "n Elementen k ausgewählt werden" und manche davon mehrfach vorkommen auch eine schematische Vorgehensweise?

Wenn man nämlich längere "Wörter" nimmt und viele Buchstaben öfter vorkommen, dann wird diese Zergliederung etwas zeitaufwendig, wie ich finde.

16.12.2012, 16:13

Brüpfel

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Vielleicht poste ich eine solche Aufgabe lieber einmal

Geuscht ist wieder die Anzahl der Wörter, diesmal der
Länge 5.
Diese 5 Buchstaben können aus folgendem Buchstabenpaket gewählt werden, bei denen manche Buchstaben 2 oder mehrfach auftauchen:

A (2x)
D (1x)
E (3x)
H (1x)
I (2x)
K (2x)
M (2x)
R (1x)
S (1x)
T (3x)

16.12.2012, 16:24

HAL 9000

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Zunächst mal solltest du die Buchstaben nach ihrer Häufigkeit gruppieren:

Eins: D,H,R,S
Zwei: A,I,K,M
Drei: E,T

Das "Schema" besteht nun darin, die fünfbuchstaben Wörter zunächst so wie oben in der Lösung zu klassifizieren:

1.Fall: Fünf verschiedene Buchstaben (11111)

2.Fall: Vier verschiedene Buchstaben, d.h. einer doppelt (2111)

3.Fall: Drei verschiedene Buchstaben, davon einer dreifach (311)

4.Fall: Drei verschiedene Buchstaben, davon je zwei doppelt (221)

5.Fall: Zwei verschiedene Buchstaben, d.h. einer dreifach, der andere doppelt (32)

Für jeden dieser Fälle kannst du nun mit kombinatorischen Grundformeln die Wortanzahl bestimmen, zum Schluss alles summieren. Ich glaube dir gern, dass du das als zu aufwändig ansiehst - du kannst mir auch gern das "dünnere Brett" zeigen, vielleicht bin ich ja nur einfach zu blind dafür. Augenzwinkern

17.12.2012, 13:10

Brüpfel

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Herzlichen Dank,

das dünne Brett habe ich noch nicht gefunden (nur das etwas dickere vor meinen Augen).

Ich habe das mal soweit versucht und hoffe, richtig vorgegangen zu sein:

1. Fall)
Es gibt 10 verschiedene Buchstaben. Somit gibt es für deren Anordnung 10*9*8*7*6 = 30240 Möglichkeiten.

2.) Fall)
Es werden aus 14 Buchstaben (die 2 oder 3 mal vorkommen) 2 ausgewählt. Dabei gibt es jedoch 6 Möglichkeiten (2mal (A, oder I, oder K, oder M, oder E, oder T).)
Für die übrigen 3 Buchstaben bleiben dann noch 9 unterschiedliche Buchstaben übrig.

Insgesamt also $\begin{eqnarray*} 6*\binom{14}{2}*(9*8*7) \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten

3. Fall)
E oder T sind 3 mal dabei. übrig bleiben dann noch 9 Buchstaben.
$\begin{eqnarray*} 2*\binom{6}{3} * 9 * 8 \end{eqnarray*}$

4. Fall) Zunächst gibt es 6 Buchstaben, die mindestens zweimal vorkommen. Es werden dann zunächst 2 ausgewählt. Übrig bleiben dann noch 5 solche Buchstaben, die mindestens zweimal vorkommen. Nachdem diese gewählt sind, gibt es am Ende noch 10-1-1 = 8 Buchstaben, die sich voneinander unterscheiden.
$\begin{eqnarray*} 6*\binom{14}{2} * 5*\binom{12}{2} * 8 \end{eqnarray*}$

5. Fall) $\begin{eqnarray*} 2*\binom{6}{3}*5*4 \end{eqnarray*}$

Insgesamt ergibt das bei mir 1 750 554 Möglichkeiten.

17.12.2012, 13:23

HAL 9000

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Den 1.Fall hast du richtig gerechnet.

Beim 2.Fall stimmen Teile der Argumentation, aber in der Formel geht viel daneben:

Faktor 6 ist richtig. Die drei Einer-Buchstaben können jetzt noch aus 9 ausgewählt werden. Schlussendlich werden diese 5 Buchstaben (wobei zwei gleich sind) permutiert. Das ergibt die Anzahl

$\begin{eqnarray*} 6\cdot \binom{9}{3}\cdot \frac{5!}{2!} = 30240 \end{eqnarray*}$ .

Gewiss gibt es auch andere Möglichkeiten, diese Anzahl herzuleiten, aber am Ende muss natürlich bei jedem richtigen Weg dieselbe Anzahl herauskommen. Augenzwinkern

Auch beim 3.,4. und 5.Fall verstehe ich deine Rechnungen nicht, am Ende stehen allesamt falsche Anzahlen. unglücklich

17.12.2012, 18:57

Brüpfl

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Hallo,

habe es nochmal versucht, ich werde eben nur mein Ergebnis posten, wenn es falsch ich muss ich wohl nochmal von vorne überlegen:
69220 Möglichkeiten gibt es.

17.12.2012, 19:14

HAL 9000

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Da du unbedingt auf diese Geheimniskrämerei

Zitat:

Original von Brüpfl
ich werde eben nur mein Ergebnis posten, wenn es falsch ich muss ich wohl nochmal von vorne überlegen

bestehst, statt die Einzelresultate zu posten: Die Gesamtanzahl 69220 ist falsch.

17.12.2012, 19:39

Brüpfel

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Hi,

ich hatte nicht mit einer so schnellen Antwort gerechnet und musste eben schnell fort.

Die Einzelschritte.

Schritt 1 und 2 stehen ja dankenswerterweise schon oben.

Schritt 3)
Es gibt zwei Buchstaben, die dreimal vorkommen.
Danach werden noch 2 Buchstaben aus den verbliebenen 9 unterschiedlichen gewählt.
Abschließend werden die 5 Buchstaben permutiert; 3 davon sind gleich.

= $\begin{eqnarray*} 2 * \binom{9}{2} * \frac{5!}{3!} = 1440 \end{eqnarray*}$

Schritt 4)
Es gibt 6 versch. Buchstaben, die doppelt (oder mehrfach) auftauchen
Danach gibt es noch 5 versch. Buchstaben, ...
Der letzte Buchstabe stammt aus den verbl. 8.
Wieder die Permutation:

= $\begin{eqnarray*} 6*5*8*\frac{5!}{2!*2!} = 7200 \end{eqnarray*}$

Schritt 5)
Es gibt 2 Buchstaben, die verschieden isnd und 3mal auftauchen
Es bleiben dann noch 5 Buchstaben, die zweimal vorhanden sind.
Anschließend wieder die Permutation

= $\begin{eqnarray*} 2*5* \frac{5!}{3!*2!} = 100 \end{eqnarray*}$

17.12.2012, 19:46

HAL 9000

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Die Anzahlen 3) und 5) sind nun richtig.

Bei 4) kommt aber nur die Hälfte heraus: Statt $\begin{eqnarray*} 6*5=30 \end{eqnarray*}$ muss da $\begin{eqnarray*} \binom{6}{2}=15 \end{eqnarray*}$ in den Term, denn für die beiden jeweils doppelt vorkommenden Buchstaben werden zwei verschiedene Buchstaben aus sechs möglichen (A,I,K,M,E,T) ausgewählt, zunächst OHNE Berücksichtigung der Auswahlreihenfolge! Die Reihenfolge im Wort wird ja dann am Ende durch die Permutationen mit Wiederholung $\begin{eqnarray*} \frac{5!}{2!\cdot 2!} \end{eqnarray*}$ berücksichtigt.

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