Ringschluss Endomorphismus

14.12.2012, 16:01

Timbonane

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Ringschluss Endomorphismus

Hallo!

Also meine Aufgabe lautet:

Es sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum und $\begin{eqnarray*} f \in Hom(V;V) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
$\begin{eqnarray*} (i)V = f(V ) + ker(f) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ii) f(V ) \cap ker(f) = {0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (iii) ker(f \circ f) = ker(f) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz ist nun, dass ich dies mit einem Ringschluss zeige.

Ich hätte mit der Implikation (iii)->(i) begonnen.

zz. ist also, dass sich jedes $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} v=x+y \end{eqnarray*}$ schreiben lässt mit $\begin{eqnarray*} x \in ker(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in f(V) \end{eqnarray*}$ .

Betrachte dann $\begin{eqnarray*} v=v-f(v)+f(v) \end{eqnarray*}$

Dass $\begin{eqnarray*} f(v)\in f(V) \end{eqnarray*}$ ist, brauch ich hoffentlich nicht beweisen, und bzgl $\begin{eqnarray*} v-f(v)\in ker(f) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} f(v-f(v)) \end{eqnarray*}$ müsste dann ja null sein
Ich wende also die Eigenschaft des Homomorphismus an:
$\begin{eqnarray*} f(v-f(v))=f(v)-f(f(v)) \end{eqnarray*}$ .
und weil ich nun weis, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=f(f(x)) \end{eqnarray*}$ , folgt daraus dass $\begin{eqnarray*} v-f(v)\in ker(f) \end{eqnarray*}$ ist, oder?
Passt das bis hierhin? Ab da weis ich dann leider nicht mehr weiter...
Dankeschön schonmal im voraus!

14.12.2012, 16:54

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Oder bin ich da mit meiner Annahme schon komplett am falschen Weg?

14.12.2012, 16:54

zweiundvierzig

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RE: Ringschluss Endomorphismus

Zitat:

Original von Timbonane
[...]
Ich wende also die Eigenschaft des Homomorphismus an:
$\begin{eqnarray*} f(v-f(v))=f(v)-f(f(v)) \end{eqnarray*}$ .

Bis hierhin passt's. Danach behauptest Du direkt $\begin{eqnarray*} f^2 = f \end{eqnarray*}$ , aber zunächst ist nur $\begin{eqnarray*} \ker(f^2) = \ker(f) \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt.

14.12.2012, 17:24

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Aber das heisst, dass ich zeigen kann, dass aus $\begin{eqnarray*} ker(f²)=ker(f) \end{eqnarray*}$ folgert, dass $\begin{eqnarray*} f²=f \end{eqnarray*}$ ?
Nur muss ichs versuchen zu beweisen? dann weis ich ja zumindest schonmal woran ich arbeiten kann, danke!

15.12.2012, 10:16

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Oder kann ich das nicht zeigen?
Sollte ich den Ringschluss in eine andere Richtung zeigen?
Mir fehlen momentan echt die Ideen.

15.12.2012, 10:47

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
So, ich hab mir jetzt ein paar Gedanken zu (i)=>(ii) gemacht und bin zu folgendem gekommen:

Laut dem Rangsatz gilt ja: $\begin{eqnarray*} dim(ker(f))+dim(f(V))=dimV \end{eqnarray*}$
Nach Voraussetzung gilt aber auch: $\begin{eqnarray*} dim(ker(f)+f(V))=dimV \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir nun die Dimensionsformel für Summen ansehe:
$\begin{eqnarray*} dim(ker(f)+f(V))=dim(ker(f))+dim(f(V))-dim(ker(f) \cap f(V)) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt jetzt aber, dass $\begin{eqnarray*} dim(ker(f) \cap f(V))=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} ker(f) \cap f(V)=0 \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

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15.12.2012, 18:57

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Ja? Nein?
Und bezüglich $\begin{eqnarray*} ker(f^2)=ker(f) \end{eqnarray*}$ , das besagt ja nur dass wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist, dass dann auch $\begin{eqnarray*} f(f(x))=0 \end{eqnarray*}$ ist, oder?

Ich weis dann einfach nicht wie ich zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} v-f(v) \end{eqnarray*}$ im Kern liegt, ohne bereits vorauszusetzen, dass es im Kern liegt... traurig

traurig

16.12.2012, 12:43

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Keiner? Mir würd dieses Beispiel wirklich am Herz liegen.

Frage ich einfach falsch? Beachte ich irgendwelche Regeln nicht, ich hab sie mir doch eigentlich durchgelesen =(
Will nur sicherstellen dass es nicht daran liegt, mir ist schon klar dass die Hilfe freiwillig ist!
Von daher Danke nochmal, vll mag mir ja noch jemand nen anstupser geben

16.12.2012, 14:16

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
(iii) und der Rangsatz liefern eine Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} f(V) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^2(V) \end{eqnarray*}$ .
Damit gibt es dann ein u mit $\begin{eqnarray*} f(v)=f^2(u) \end{eqnarray*}$ und damit findest du leicht ein Element in $\begin{eqnarray*} ker(f) \end{eqnarray*}$ . Und damit wiederum kannst eine Zerlegung von v in der gewünschten Form angeben - ganz ähnlich zu der, mit der du es schon selbst versucht hast.

16.12.2012, 14:39

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Laut dem Rangsatz weis ich ja, dass $\begin{eqnarray*} dimV=dim(ker(f))+dim(f(V)) \end{eqnarray*}$ gilt.

Jetzt weis ich aber, dass $\begin{eqnarray*} ker(f)=ker(f^2) \end{eqnarray*}$ , also folgt daraus dass auch
$\begin{eqnarray*} dimV=dim(ker(f^2))+dim(f(V)) \end{eqnarray*}$ gelten muss.
Weiters gilt:
$\begin{eqnarray*} dimV=dim(ker(f^2)+dim(f^2(V)) \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt dann aber, dass $\begin{eqnarray*} dim(f(V))=dim(f^2(V)) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(V)=f^2(V) \end{eqnarray*}$ .

Nun betrachte ich eben jenes $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v=x+y \end{eqnarray*}$

z.z.: $\begin{eqnarray*} v-f(v) \in ker(f) \end{eqnarray*}$
Betrachte also $\begin{eqnarray*} f(v-f(v))=f(v)-f(f(v)) \end{eqnarray*}$
Weil nun aber $\begin{eqnarray*} f(V)=f^2(V)=> \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(v-f(v))=f(v)-f(f(v))=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \in ker(f) \end{eqnarray*}$

Macht das so Sinn?

Dann würde mir "nur" noch (ii)->(iii) fehlen, insofern (i)->(ii) stimmt

16.12.2012, 14:50

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
$\begin{eqnarray*} f(V)=f^2(V) \end{eqnarray*}$ ist ok. Danach geht's schief Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast wieder die Zerlegung v=v-f(v)+f(v) genommen. Versuche eine andere.
Verwende den Tipp, aus $\begin{eqnarray*} f(v)=f^2(u) \end{eqnarray*}$ (wieso gibt es so ein u?) ein Element in $\begin{eqnarray*} Ker f \end{eqnarray*}$ zu finden.

16.12.2012, 15:00

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Hmm, meinst du damit:

Betrache also ein u mit $\begin{eqnarray*} f(u)=f^2(v) \end{eqnarray*}$

Und dann die Zerlegung: $\begin{eqnarray*} u=u-f(v)+f(v) \end{eqnarray*}$ .....wobei $\begin{eqnarray*} f(v) \in f(V) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u-f(v) \end{eqnarray*}$ soll dann also im Kern liegen..
Betrachte: $\begin{eqnarray*} f(u-f(v))=f(u)-f(f(v)=f(u)-f^2(v) \end{eqnarray*}$ ..weil ich jetzt nun weis, dass $\begin{eqnarray*} f(u)=f^2(v) \end{eqnarray*}$ folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} u-f(v) \in ker(f) \end{eqnarray*}$ ist?

16.12.2012, 15:05

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Warum hast du jetzt u und v vertauscht? Die Idee ist die jedenfalls die richtige Freude

Freude

Bleibt noch die Erklärung, warum es ein u mit $\begin{eqnarray*} f(v)=f^2(u) \end{eqnarray*}$ gibt (ich bin jetzt zur ursprünglichen Verwendung von v und u zurück gegangen; dabei war v ein beliebiges Element aus V)

16.12.2012, 15:17

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Huch, sorry, zu schnell geschrieben.. Big Laugh

Big Laugh

Zur Erklärung: Betrachte also ein beliebiges $\begin{eqnarray*} u \in V \end{eqnarray*}$ , dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(u)=v \end{eqnarray*}$ .
Weil nun $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ ist, gibt es auch $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ . Weil nun aber $\begin{eqnarray*} v=f(u)=> \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(v)=f(f(u)) \end{eqnarray*}$

Macht das so Sinn?

16.12.2012, 15:31

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
leider nicht. Du musst begründen, dass es zu beliebigem v ein u mit $\begin{eqnarray*} f(v)=f^2(u) \end{eqnarray*}$ gibt. Dafür könnte die Beziehung aus meinem ersten Hinweis nützlich sein Wink

Wink

16.12.2012, 15:39

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Hmm, ich hab mir das grad Formal aufgeschrieben, und bin dazu gekommen:

$\begin{eqnarray*} \forall v \in V \exists u \in V:f(v)=f(f(u)) \end{eqnarray*}$ .
Kann ich aus $\begin{eqnarray*} ker(f)=ker(f^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(V)=f^2(V) \end{eqnarray*}$ folgern, dass meine Funktion surjektiv ist?
Ich tu mir grad etwas schwer, das richtig zu interpretieren.

16.12.2012, 15:58

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Kannst du vielleicht folgern, ist dann aber falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schau dir als Gegenbeispiel den Endomorphismus f an, der durch die 2x2 Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen 0 und 1 dargestellt wird (anschaulich der Projektor auf die y-Achse). Dafür gilt sogar f^2=f, er ist aber nicht surjektiv.

Es ist einfacher, als du allem Anschein nach befürchtest smile

smile

Vielleicht hilft es, wenn du $\begin{eqnarray*} w:=f(v) \end{eqnarray*}$ setzt, und überlegst, was dann aus $\begin{eqnarray*} w\in f(V)=f^2(V) \end{eqnarray*}$ folgt.

16.12.2012, 16:11

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Danke für das Gegenbeispiel, jetzt versteh ich dass das gar nicht immer stimmen KANN! smile

smile

Wenn ich mir nun $\begin{eqnarray*} w \in f(V)=f(f(V)) \end{eqnarray*}$ ansehe, muss es ja ein $\begin{eqnarray*} v \in f^{-1}(V) \end{eqnarray*}$ geben, aber auch ein $\begin{eqnarray*} u \in f^{-1}(f^{-1}(V)) \end{eqnarray*}$ . also $\begin{eqnarray*} w=f(v)=f(f(u)) \end{eqnarray*}$ ?

16.12.2012, 16:26

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Ups. Ich meinte: Kannst du vielleicht folgern, ist dann aber im allgemeinen falsch. Bitte um Entschuldigung für die Ungenauigkeit.
Für den einfachen Fall f=id gilt ja $\begin{eqnarray*} ker(f)=ker(f^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(V)=f^2(V) \end{eqnarray*}$ und natürlich ist f surjektiv. Aber wie das Gegenbeispiel zeigt, ist es nicht immer richtig.

Ja, $\begin{eqnarray*} w\in f^2(V) \end{eqnarray*}$ heißt per definitionem: es gibt ein $\begin{eqnarray*} u\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w=f^2(u) \end{eqnarray*}$ .
Damit ist dann $\begin{eqnarray*} f(v)=w=f^2(u) \end{eqnarray*}$

16.12.2012, 16:32

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Super! Vielen lieben Dank!
Damit wären (i)->(ii) und (iii)->(i) bewiesen?

Ich möchte nicht aufdringlich sein, aber könntest du mir evtl auch noch einen anstupser für (ii)->(iii) geben? Oder ist der Beweis so kurz, dass ich den allein auf jeden Fall schaffen sollt? Mir fehlt einfach absolut der Ansatz....
Dankeschön nochmal! smile

smile

16.12.2012, 16:37

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
(ii)->(iii) wie zeigt man denn, dass zwei Mengen gleich sind?

16.12.2012, 16:48

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Ich muss einerseits zeigen, dass

1. $\begin{eqnarray*} ker(f^2) \subseteq ker(f) \end{eqnarray*}$
als auch
2. $\begin{eqnarray*} ker(f) \subseteq ker(f^2) \end{eqnarray*}$

2. sollte doch direkt folgen oder? Denn wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ , dann ist doch auch $\begin{eqnarray*} f(f(x))=0 \end{eqnarray*}$ , weil f linear ist? Also weil $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ ?

16.12.2012, 16:51

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
so weit, so gut Freude

Freude

16.12.2012, 18:43

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
So, ich bin jetzt zu folgendem Ansatz gekommen:

Sei also $\begin{eqnarray*} x \in ker(f^2) \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} y \in f(ker(f^2)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} y \in f(ker(f^2))=>\exists x \in ker(f^2):y=f(x) \in f(ker(f^2)) \end{eqnarray*}$
Weil nun $\begin{eqnarray*} x \in ker(f^2)=>y=f(x) \in f(V) \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} y=f(x) \in f(ker(f^2)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \in f(V). d.h. f(x)=0 \end{eqnarray*}$ laut Voraussetzung.

Also ist $\begin{eqnarray*} x \in ker(f) \end{eqnarray*}$
Macht das Sinn?

16.12.2012, 19:22

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Das hier

Zitat:

Sei also $\begin{eqnarray*} y \in f(ker(f^2))=>\exists x \in ker(f^2):y=f(x) \in f(ker(f^2)) \end{eqnarray*}$
Weil nun $\begin{eqnarray*} x \in ker(f^2)=>y=f(x) \in f(V) \end{eqnarray*}$

ergibt in dem Zusammenhang keinen Sinn. Erstens hast du vorher y als f(x) definiert, kannst es also nicht frei wählen, wie es das "Sei also" üblicherweise suggeriert. Die zweite Aussage gibt nur bedingt Sinn, weil ohnehin für jedes $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(V) \end{eqnarray*}$ gilt.
Für den Beweis hat das jedenfalls alles keinen Wert.

Warum du die Voraussetzung anwenden kannst, solltest du ein wenig deutlicher herausarbeiten. Falsch ist es so nicht, Punktabzüge erscheinen mir wahrscheinlich Big Laugh

Big Laugh

16.12.2012, 19:26

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Hmm, ja hab ich schon vermutet dass das ein bisschen in die Hose ging..

Mein neuer Ansatz:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in ker(f^2) \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} \exists y \in f(ker(f^2)):y=f(x) \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} y=f(x) \in f(ker(f^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \in f(V) \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(V) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(V) \cap ker(f) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x \in ker(f) \end{eqnarray*}$

Fühlt sich noch immer wacklig an Gott

Gott

16.12.2012, 19:35

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
yepp. Die Voraussetzung auf f(x) anzuwenden, ist schon richtig. Schreib doch einfach auf, was $\begin{eqnarray*} x\in ker(f^2) \end{eqnarray*}$ bedeutet. Dann fällt die momentan etwas versteckte Eigenschaft von f(x), die du für die Anwendbarkeit der Voraussetzung brauchst, sofort ins Auge.

16.12.2012, 19:38

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Hmm, liest sich jetzt so für mich als würde das so passen was ich dann editiert hab *hoffen*

16.12.2012, 19:48

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
d.h. f(x)=0
Warum ist f(x)=0?
Edit: An der Stelle fällt das für mich vom Himmel.
Edit2: Nochmal: Was bedeutet $\begin{eqnarray*} x\in ker (f^2) \end{eqnarray*}$ ?

16.12.2012, 19:56

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
$\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(ker(f^2) \end{eqnarray*}$ .
Und $\begin{eqnarray*} f(ker(f^2))=\lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ , weil der Kern so definiert ist.

Das war zumindest mein Gedankengang, macht das Sinn?

16.12.2012, 20:23

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
$\begin{eqnarray*} f(ker(f^2)) = \{0\} \end{eqnarray*}$ bedeutet, $\begin{eqnarray*} ker(f^2) \subseteq ker(f) \end{eqnarray*}$
Und das willst du doch gerade beweisen, oder?

Außerdem ist das auch im allgemeinen falsch: Für $\begin{eqnarray*} f=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right) \in End(\mathbb{R}^2) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f^2=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} (1,0)^T \in ker(f^2) \end{eqnarray*}$
aber $\begin{eqnarray*} f((1,0)^T)=(0,1)^T \end{eqnarray*}$

Ganz schlicht $\begin{eqnarray*} 0=f^2(x)=f(f(x)) \end{eqnarray*}$ beschert dir sofort das fehlende $\begin{eqnarray*} f(x)\in ker(f) \end{eqnarray*}$

16.12.2012, 20:36

Timbonane

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Ahhh ok da war ich ja komplett am falschen Weg!

Dass es so "einfach" ist, daran hab ich gar nicht gedacht!

Vielen, vielen lieben Dank für die Geduld und die super Tips/Korrekturen!

16.12.2012, 20:42

carm561

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RE: Ringschluss Endomorphismus
Gern geschehen Wink

Wink

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