Heronverfahren

14.12.2012, 16:20

Schinken

Heronverfahren

Meine Frage:
Guten Mittag Leute,
Ich habe folgende Aufgabe:
"Sei a > 0 gegeben. Wir wollen $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ als Nullstelle der Parabel $\begin{eqnarray*} y = x^{2} - a \end{eqnarray*}$ näherungsweise berechnen, und zwar so: ist $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ > 0 die n-te Näherung, so bestimme die Tangente um Punkt ( $\begin{eqnarray*} x_{n},x_{n}^{2}-a) \end{eqnarray*}$ und wähle $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ als deren Nullstelle. Als Startwert wählen wir ein $\begin{eqnarray*} x_{0} > \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie:

1) $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = f(x_{n}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2}(x + \frac{a}{x}) \end{eqnarray*}$ .

2) $\begin{eqnarray*} f(x) \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x > 0. \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} f(x) - x \leq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt{a}. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Ideen.. Nun ja, mit 1) kann ich einfach nichts anfangen und hätte gerne einen kleinen Tipp >.<

Die Nummer 2) verwirrt mich sogarn noch mehr.. Ausgeschreiben mein die doch, wenn f(x) die Parabel ist, dann ist sie für x > 0, also quasi für alle x auf der rechten Seite der x-Achse, größer oder gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ . Das kann aber nicht stimmen, da eine Parabel ins unendliche geht und nur für 0 < x < "Nullstelle" die Behauptung erfüllt ist..

Bei 3) ist es doch so, wenn meine Parabel um x nach unten verschoben wird, dann dann sind ihre Werte außerhalb der Nullstelle größer/gleich 0?.. Eigentlich gilt das doch sowieso für die Parabel.. Wäre da nicht das x, dann wäre es verständlich..

Bitte helft mir nur ein kleines bisschen.. Ich weiß nicht, ob ich einfach was übersehe, falsch deute, oder ob ich einfach nur zu blöd bin verwirrt

Mit freundlichen Grüßen,
Schinken

14.12.2012, 19:05

Helferlein

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f(x) ist nicht die Parabel, sondern die Iterationsfunktion der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ .
Du solltest zuerst die Tangente an y im Punkt $\begin{eqnarray*} (x_n;x_n^2-a) \end{eqnarray*}$ bestimmen und dann deren Nullstelle.

14.12.2012, 19:54

Schinken

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Zitat:

Original von Helferlein
...die Tangente an y im Punkt $\begin{eqnarray*} (x_n;x_n^2-a) \end{eqnarray*}$ bestimmen...

..und die Verwirrung steigt unglücklich

y = x²+a
und y'=2x

Somit:
$\begin{eqnarray*} t = f(x_{n}) + f'(x_{n})(x-x_{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(x_{n}^{2} - a) + (2x_{n}) * (x-x_{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x_{n}^{2} - a - 2x_{n}^{2} + 2x_{n}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-x_{n}^{2} + 2x_{n}x - a \end{eqnarray*}$

Nullstelle:
t = 0
Also:
$\begin{eqnarray*} x = (x_{n}^{2} + a) * \frac{1}{2*x_{n}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}}) \end{eqnarray*}$
Ist doch soweit richtig?.. Und jetzt hab ich das, was oben steht.. Wars das? Ist das jetzt "gezeigt"? verwirrt

14.12.2012, 20:15

Helferlein

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Ja, wobei Du das f(..) durch y(..) ersetzten solltest, denn wie oben schon gesagt: $\begin{eqnarray*} f(x)\neq y(x) \end{eqnarray*}$

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