Identitäten trigometrische Funktionen beweisen

14.12.2012, 19:48

Jefferson1992

Identitäten trigometrische Funktionen beweisen

Hallo Leute,
Habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} u = tan(\frac{x}{2} ) \end{eqnarray*}$ .

Beweisen Sie die folgenden Identitäten:

$\begin{eqnarray*} sin(x) =\frac{2u}{1+u²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x) =\frac{1-u²}{1+u²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan(x) =\frac{2u}{1-u²} \end{eqnarray*}$

Erklären Sie den Nutzen dieser Identitäten im Hinblick auf die Integration ratio-
naler Funktionen in den Variablen

$\begin{eqnarray*} sin(nx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(mx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan(kx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cot(lx \end{eqnarray*}$ )

mit ganzzahligen $\begin{eqnarray*} n; m; k; l. \end{eqnarray*}$

Idee/Ansatz:

Ich habe mit

$\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$

angefangen:

Da ja gilt:

$\begin{eqnarray*} tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

kann ich die rechte Seite auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} sin(x) =\frac{2u}{1+u²} =\frac{2*\frac{sin(\frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})}}{1+\frac{sin²(\frac{x}{2})}{cos²(\frac{x}{2})}} \end{eqnarray*}$

ist das soweit erstmal richtig, dass ich diesen Schritt mache? oder gehe ich schon in die komplett falsche Richtung?

Danke!

14.12.2012, 20:12

riwe

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RE: Identitäten trigometrische Funktionen beweisen
ich würde es umgekehrt anpacken:

wie allseits bekannt gilt Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} sin^2x=\frac{tan^2x}{1+tan^2x} \end{eqnarray*}$

und nun einsetzen

$\begin{eqnarray*} tan(2\cdot\frac{x}{2})=\frac{2u}{1-u^2} \end{eqnarray*}$

womit man - zumindest für den sinus flugs am ziele ist Augenzwinkern

14.12.2012, 20:20

Jefferson1992

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Aber das muss ich doch sicherlich auch beweisen, dass das gilt oder?

14.12.2012, 20:28

riwe

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Zitat:

Original von Jefferson1992
Aber das muss ich doch sicherlich auch beweisen, dass das gilt oder?

was

14.12.2012, 21:08

Jefferson1992

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Habe das jetzt so gemacht, wie beschrieben, aber ich komme dennoch ncith auf die Lösung :/

Rechenweg:

$\begin{eqnarray*} sin(x)=\frac{2u}{1+u²} \end{eqnarray*}$
Wir wissen:

$\begin{eqnarray*} sin²(x)=\frac{tan²(x)}{1+tan²(x)} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} tan(x)=\frac{2u}{1-u²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin²(x)=\frac{(\frac{2u}{1-u²})² }{(1+\frac{2u}{1-u²})² } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =sin²(x)=\frac{(\frac{4u²}{1-2u²+u^{4}}) }{(1+\frac{4u²}{1-2u²+u^{4}}) } \end{eqnarray*}$

gekürzt ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} =\frac{2u²}{1-u²+u^{4}}*(1-\frac{1-u²+u^{4}}{2u²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2u²}{1-u²+u^{4}}-1 \end{eqnarray*}$

Wie mache ich denn jetzt weiter?

14.12.2012, 21:20

riwe

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ich weiß ja nicht, wo du kürzen gelernt hast

$\begin{eqnarray*} sin^2x=\frac{\frac{4u^2}{(1-u^2)^2}}{1+\frac{4u^2}{(1-u^2)^2}}=\frac{4u^2}{(1+u^2)^2} \end{eqnarray*}$

der rest sollte nicht allzu große probleme bereiten Augenzwinkern

14.12.2012, 21:58

Jefferson1992

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hmm okay.. ich hab es mir zu schwer gemacht..

okay die weiteren Schritte:

Wurzel ziehen:

$\begin{eqnarray*} sin(x)=\frac{2u}{1+u²} \end{eqnarray*}$

und das gab es zu zeigen.

Jetzt noch für Cosinus zum Verständnis:

$\begin{eqnarray*} cos(x)=\frac{1-u²}{1+u²} cos²(x)=1-sin²(x) =1-(\frac{2u}{1+u²})² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x)=1-(\frac{2u}{1+u²}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1+u²-2u}{1+u²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{(1-u)²}{1+u²} \end{eqnarray*}$

aber das ist nicht das, was ich haben will...

wo ist nun mein Fehler?

14.12.2012, 22:08

riwe

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naja, ma kann ja alles sehr kompliziert machen

$\begin{eqnarray*} cos^2x=1-\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}=\frac{(1-u^2)^2}{(1+u^2)^2} \end{eqnarray*}$

edit:

zu deiner obigen frage:
ich habe als bekannt vorausgesetzt - im hochschulforum!

$\begin{eqnarray*} (1)\quad{ }sin^2x+cos^2x=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\quad{ }sin2x=2sinx\cdot cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3)\quad{ }cos2x=cos^2x-sin^2x \end{eqnarray*}$

möchtest du das auch noch zeigen verwirrt

14.12.2012, 22:36

Jefferson1992

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Kannst du kurz zeigen, wie man auf diese Umstellung kommst? Das ist mir nicht klar...

Nein, muss ich denke ich mal nicht zeigen für die aufgab, nur mein Tutor ist da etwas pingelig ...

15.12.2012, 09:41

riwe

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(1) mit dem guten alten pythagoras am einheitskreis
(2) und (3) am einfachsten mit dem satz von moivre oder ebenfalls geometrisch am einheitskreis,
du kannst auch die boardSUCHE verwenden (beweis mit differentialgleichung von Mystic und alles weitere auch) Augenzwinkern

15.12.2012, 11:39

Jefferson1992

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Das ist mir schon klar, ich meine die Umformung darüber smile

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