Treppenform in Abhängigkeit des Rangs berechnen

14.12.2012, 22:42	Moony	Auf diesen Beitrag antworten »
Treppenform in Abhängigkeit des Rangs berechnen Meine Frage: Hallo, ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich gar nicht verstehe, was eigentlich gefragt ist: Seien K ein Körper und $\begin{eqnarray} A \in\ K^{m \times n} \end{eqnarray}$ eine Matrix über K in Treppenform. Berechnen Sie die Treppenform von $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit des Rangs von A. Meine Ideen: Um die Sache mit dem Rang besser zuverstehen, hab ich mal mit ein paar einfachen Matrizen rumprobiert, welchen Rang die transponierte Matrix hat. Z.B. ist für m<n $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in Treppenform und es ist $\begin{eqnarray} A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , was man in $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ umformen kann (wenn ich mich nicht verrechnet habe). Somit ist Rang(A) = Rang(A^T). Auch in den Fällen m=n und m>n war das so. Ist irgendwie auch logisch, da ja einfach nur die Zeilen und Spalten vertauscht werden. Doch gilt das wirklich immer? Aber wie soll man dann mit Hilfe des Rangs die Treppenform ohne genaue Werte berechnen? Ich kann zwar eine beliebige, allgemeine Matrix aufschreiben, aber da kann man ja ewig umformen... Über eine kleine Starthilfe würde ich mich wirklich freuen. Danke.
15.12.2012, 09:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann man nicht mehr viel helfen ... wegen Spaltenrang(A)=Zeilenrang(A) haben A und ihre Transponierte immer denselben Rang ... in deinem Beispiel ist der Rang gleich 2, und es stehen 2 Einsen in der Hauptdiagonale ... was steht dann wohl da, wenn der Rang gleich n ist ?
15.12.2012, 19:44	Moony	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, dann sind n Einser auf der Hauptdiagonale. Dann muss ich also wirklich eine beliebige mxn-Matrix transponieren und auf Treppenform bringen. Z.B.: A ist eine Matrix in Treppenform mit m Zeilen und n Spalten: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 0 ... & 1 & a_{12} & a_{13}... & a_{1j}... \\ 0... & 0 & 1 & a_{23}... &a_{2j}... \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0... & 0 & 0 & 1 & a_{ij}... \\ 0... & 0... & 0... & 0... & 0... \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die transponierte Matrix hat n Zeilen und m Spalten und ist dann: $\begin{eqnarray} A^T = \begin{pmatrix} 0... & 0... & 0... & 0... & 0... \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0... \\ a_{12} & 1 & 0 & 0 & 0... \\ a_{13} & a_{23} & 1 & 0 & 0... \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{1j} & a_{2j} & a_{3j}... & 1 & 0... \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich hab jetzt meine Matrizen mit beliebig vielen Nullen aufgefüllt, denn bei der Matrix A können ja je nach Zeilen- und Spaltenanzahl noch beliebig viele 0 rechts und unterhalb der Einser stehen. Darf ich die aber eigentlich auch weglassen? Mit den 0-Zeilen ist es irgendwie so unübersichtlich... Das Problem ist jetzt, dass ich ja ganz viele Rechenoperationen in Abhängigkeit vom Rang r aufschreiben muss, aber nicht genau weiß, wie es richtig ist. Zuerst muss ich ja die r Zeilen mit Eintägen ungleich 0 mit den 0-Zeilen oben vertauschen. Doch wie schreibt man das mathematisch korrekt auf? Danach müsste ich die Zeilen ja alle einzeln voneinander abziehen. Da hab ich zwar eine Idee, aber ich glaub irgendwie nicht, dass sie stimmt: $\begin{eqnarray} (r-1) \cdot ( A^T_{j1} (-a_{1j})) \cdot (r-2) \cdot ( A^T_{j2} (-a_{12}) \cdot) ... \cdot 1 \cdot ( A^T_{ji} (-a_{ij})) \cdot A^T \end{eqnarray}$ Am Ende bleibt dann eine Matrix mit n Einsen auf der Diagonale und sonst nur Nullen übrig. Hat jemand einen Tipp oder Verbesserungsvorschlag für mich?
15.12.2012, 19:49	Moony	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigt den Doppelpost, aber ich hab noch was vergessen: i= 2,...m und j= 2,...n, damit man auch weiß, welche Werte i und j annehmen können.
16.12.2012, 10:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Elementarmatrizen (Vertauschungsmatrix, Additionsmatrix, Multiplikationsmatrix) lässt sich aus einer Matrix A die Diagonalmatrix mit n Einsen in der Hauptdiagonale berechnen, wobei n=rng(A) ist. Siehe z.B. hier: http://math-www.uni-paderborn.de/~chris/...V/einschubA.pdf

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »