Determinante nxn Matrix

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Matrix12 Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante nxn Matrix
Meine Frage:
Ich soll die Determinante einer nxn Matrix berechnen, komme ab einem gewissen Punkt mit dem Entwicklungssatz aber nicht weiter unglücklich

Gesucht ist:


Meine Ideen:

Ab hier weiß ich nicht weiter. Ich finde keinen eleganten Weg, eine Dreiecksmatrix herzustellen oder den Enticklungssatz anzuwenden, ohne dass eine Unterdeterminante übrig bleibt, bei der ich wieder entwickeln müsste usw..

Für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar smile
Matrix 12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab auch schon Induktion versucht, aber d1, d2 , d3.. folgen nicht wirklich einem Muster, oder doch?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Induktion bin ich auch zu keinem Ergebnis gekommen, aber mit dem folgenden.
Man muss eine Reihe von Umformungen vornehmen, die ich dir mal in Worten aufschreiben möchte (ich will ja nicht alles selber machen Augenzwinkern ):

A) Arbeite erst mal mit den Spaltenvektoren, nicht mit den Zeilenvektoren. Immer mit der 1. Spalte, angewendet auf die 2., die 3. usw. Dann bekommst du alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale (HD) bis auf die Spalte ganz links weg , sowie alle Einträge oberhalb der HD bis auf die 1. Zeile. In der 1. Spalte stehen dann ab Zeile 2 nur noch Einsen. (Ergebnis A)

B) Die Einsen in der 1. Spalte bekommt man alle bis auf die unterste weg, indem man in Ergebnis A die unterste Zeile von der 2., der 3. usw. abzieht. Jetzt hat man eine Determinante, bei der in der ganz rechten Spalte in der 2., 3. usw, (n-1). Zeile t und in der n. Zeile -t steht. (Ergebnis B)

C) Indem du jetzt in Ergebnis B zu der letzten Spalte die 2., die 3., ... und die (n-1). addierst, bekommst du eine Determinante, in der in der ersten Spalte, n. Zeile eine 1 steht (alle anderen Zeilen der Spalte bis auf die 1. Zeile =0), in der letzten Spalte, 1. Zeile ein komplizierter Ausdruck (alle anderen Zeilen der Spalte bis auf die letzte =0, letzte Zeile = -t) und auf der HD ab 2. Zeile immer -t. Alle anderen Einträge unterhalb der 1. Zeile sind 0. Den Eintrag auf der HD in der n. Zeile kann man mit Hilfe der 1. Spalte wegbekommen (Ergebnis C)

D) Nun kann man Ergebnis C nach dem Eintrag der 1. Zeile, letzte Spalte entwickeln. Das ist der einzige Eintrag in dieser Spalte ungleich 0. Die Unterdeterminante ist sehr einfach aufgebaut: Sie hat in der 1. Spalte, (n-1). Zeile eine 1, auf der Diagonale über ihrer Hauptdiagonale immer -t, ansonsten 0. (Ergebnis D)

E) Diese letztgenannte Unterdeterminante kann man sehr einfach nach dem Eintrag in der 1. Spalte entwickeln.

Ich hoffe, das ist nachvollziehbar.

Das Ergebnis ist dann?
Matrix12 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die ausführliche Hilfe smile

Ich habs mal durchprobiert und mit deinen Hinweisen (A B C..) verglichen und kam eigentlich immer überein. Können höchstens noch Kleinigkeiten sein smile

Mein Ergebnis:

Matrix12 Auf diesen Beitrag antworten »

am ende muss es (-t)^(n-2) sein.
Matrix12 Auf diesen Beitrag antworten »

So ich habs jetzt nochmal überarbeitet und die (-1)^.... Terme anders zusammengefasst.

Sieht jetzt so aus
 
 
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