Aussagen zu beliebigen quadratischen komplexen Matrizen

15.12.2012, 18:36

Mathelehrer

Aussagen zu beliebigen quadratischen komplexen Matrizen

Meine Frage:
Hallo

ich hab efolgende Aufgabenstellung:
Beweisen oder widerlegen Sie für beliebige quadratische Matrizen mit einträgen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ folgende Aussagen
a) A hat nur reelle Einträge und A x A = E -> det(A) = $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ .
b) A ist nicht invertierbar -> AB ist nicht invertierbar.
c) det(A)+det(B) = det(A+B)
d) A^3 = 0 => A= 0.
e) A^3 = 0 => (E-A)^(-1) = E +A+A^2.
f) det(A) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R -> alle Einträge in A sind reell.

a,b,c,f sind ja recht simpel aber d,e hab ich keinen Ansatz...

Danke für alle hilfreichen Antworten

Meine Ideen:
a)
det(E)=1
aus det(A)x det(B)=det(AB) folgt:
(det(A))^2 = 1 -> det(A) = $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{eqnarray*}$ (stimmt)

b)
A nicht invertierbar -> det(A)=0
0 x det(B) = det(AB) = 0 -> AB nicht invertierbar (stimmt)

c)

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1+i & 1+i \\ 0 & 0 \end{pmatrix}<br /> B= \begin{pmatrix} 1+i & 0 \\ 0 & 1+i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

det(A)=0, det(B)=i2, det(AB)=i4 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ det(A) + det(B)
(stimmt nicht)

f)
$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1+i & 1+i \\ 1+i & 1+i \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$
det(A)=0 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R
(stimmt also nicht)

d)?

(könnte mir hier helfen das für bestimmte matrizen die einträge sich mit $\begin{eqnarray*} \frac{n * (n-1)}{2} \end{eqnarray*}$ berechnen lassen?)

e)???

15.12.2012, 20:10

Mathelehrer

Auf diesen Beitrag antworten »

d)

A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
A^3 = 0

(stimmt also nicht)
das ist mir jetzt spontan beim Fernseh gucken eingefallen...

15.12.2012, 21:39

Dangalf

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu e) A^3 = 0 => (E - A)^(-1) = E + A + A^2

Das heißt, es wird behauptet, wenn A^3 = 0, dann ist E - A invertierbar und das (multiplikative) Inverse ist E + A + A^2. Das kannst Du leicht beweisen, indem Du (E + A + A^2)*(E - A) und natürlich auch (E - A)*(E + A + A^2) berechnest und nachweist, dass da jeweils E rauskommt -- mehr wird von einem multiplikativen Inversen ja nicht verlangt.

16.12.2012, 00:55

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

c und f aber bitte nicht so kompliziert lösen...
c: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
f: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\mathrm i&0\\0&\mathrm i\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

@Dangalf: Für Matrizen genügt es schon, wenn eines der Produkte die Einheitsmatrix ist, d.h. aus $\begin{eqnarray*} AB=I \end{eqnarray*}$ folgt bereits $\begin{eqnarray*} A=B^{-1} \end{eqnarray*}$ (wenn beide Matrizen quadratisch sind).

16.12.2012, 01:13

Dangalf

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

@Dangalf: Für Matrizen genügt es schon, wenn eines der Produkte die Einheitsmatrix ist, d.h. aus $\begin{eqnarray*} AB=I \end{eqnarray*}$ folgt bereits $\begin{eqnarray*} A=B^{-1} \end{eqnarray*}$ (wenn beide Matrizen quadratisch sind).

Ja, stimmt. Danke für den Hinweis. Weil die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist habe ich nicht weiter drüber nachgedacht, ob man wirklich beide Produkte braucht.

16.12.2012, 13:49

Mathelehrer

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ihr zwei!

Neue Frage »

Antworten »

Aussagen zu beliebigen quadratischen komplexen Matrizen

Verwandte Themen