Lösungsmenge in Z/3Z bestimmen

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Lösungsmenge in Z/3Z bestimmen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe folgende erweiterte Matrix:

Nun soll man die Lösungsmenge in K= Z/3Z bestimmen. Dann wäre ja die Matrix:

und man kann ablesen, dass es unendlich viele Lösungen gibt.

Meine Ideen:
Ich bin aber bei der Bestimmung der Lösungsmenge etwas unsicher: Ich hab mal x4=t gesetzt und in die Gleichungen eingesetzt. Daraus ergibt sich dann:

x1= 0
x2= t
x3=[2]-[2]t
x4=t

Ich weiß aber nicht, ob ich in der Rechnung das Minus richtig behandelt habe z.B. bei x2:

Die Lösungsmenge wäre dann:


Kann mir einer sagen, ob mein Ansatz so in Ordnung ist? Über etwas Hilfe würde ich mich sehr freuen. smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsmenge in Z/3Z bestimmen
Deine Rechnung ist im Prinzip richtig, nur ein paar Anmerkungen dazu:

1. Die Schreibweise [a] für die Restklasse von a mod 3 ist unendlich mühsam... Ich hoffe, ihr müsst das nicht so machen, denn das wäre sehr engstirnig von eurem Prof... Normal ist, dass man einfach a schreibt...

2. Minuszahlen sollten höchstens vorübergehend auftreten und ganz sicher nicht im Endergebnis, d.h., da sollten konsequent die Vertreter 0,1,2 der Restklassen mod 3 verwendet werden...

3. Eine Idee wie man die Rechnungen etwas einfacher macht wäre noch, das man die Matrix mit elementaren Matrixoperationen so umformt, dass die 3x3-Matrix in der "linken oberen Ecke" eine Diagonalmatrix wird.. Damit kann man dan die Lösungen am Ende leicht ablesen...
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

hey. ich arbeite an der gleichen aufgabe und ich verstehe nicht wie du auf x_1=0 kommst. Ich hab bei mir alles überprüft und finde keinen fehler. du hast aber auch eine leicht andere ausgangsmatrix als ich...
Nook Auf diesen Beitrag antworten »

@charlydelta: Also, ich kann mich natürlich auch verrechnet haben, aber als ich die Lösungsmenge über K=R suchte, erhielt ich das eindeutige Ergebnis: x1=3/5, x2=1/5, x3=2/5, x4=-2/5. Ich habs danach noch mit dem Taschenrechner überprüft. Meine Lösung in Z/3Z scheint ja aber noch nicht so ganz richtig zu sein.

@Mystic: Danke für den Tipp. smile Ich hab's so weiter umgeformt:



In Z/3Z:



Doch wie kann ich daraus die Lösungsmenge ablesen? Normalerweise ja mit dem -1-Trick (wobei ich den sowieso noch nicht so ganz verinnerlicht habe...), aber wie geht das in Z/3Z?

Gruß Nook
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nook
In Z/3Z:



Doch wie kann ich daraus die Lösungsmenge ablesen? Normalerweise ja mit dem -1-Trick (wobei ich den sowieso noch nicht so ganz verinnerlicht habe...), aber wie geht das in Z/3Z?

Also, obige Matrix stimmt einmal... Schreib dir daszu das LGS einfach nochmals auf, setze , wie oben, und löse das LGS dann von unten nach oben auf... Die Lösung ist dann dieselbe wie oben, d.h., diese hat schon gestimmt...
Nook Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke. smile Aber ich dachte, die -[2] in meiner Lösung stimmt nicht?
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Falsch ist es nicht, das habe ich auch nie behauptet... Da -2 aber nicht einmal der kleinste Absolutrest mod 3 ist, wuerde ich 1 stattdessen klar bevorzugen...
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