Homomorphismus

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lexxi Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismus
Ist die Abbildung

f(x,y)=x-y

ein Homomorphismus ? Begründe.


Ich bin mir nicht sicher,.. wir bewegen uns ja im zweidimensionalen. ich kenne nur hom. im eindimensionalen... funktioniert das analog?

Meine Idee:
f ist ein Hom., g.d.w.

f(x,y)=f(x)+f(y)=f(x,0)+f(0,y) ?

f(x,y)= x-y

f(x,0)= x
f(0,y)=-y

würd also klappen? aber irgendwie macht das keinen sinn..
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus
Hallo! Die Bedingung an einen Homomorphismus ist im zweidimesionalen im Prinzip die gleiche wie im eindimensionalen, also f(a+b) = f(a) + f(b). Nur sind a und b jetzt eben Vektoren. Sprich: a = (c,d) und b = (e,f) für c,d,e,f aus den reelen Zahlen.
Also kannst du jetzt entweder a und b erst addieren (komponentenweise) und dann f darauf anwenden oder du wendest f auf a an und f auf b und addierst dann davon die Ergebnisse. Kommt das gleiche raus, hast du nen Homomorphismus. smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

als Vektorraum oder als Körper?
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus
Ich denke eher R^2 als Vektorraum, sonst wär die Aufgabe ungewöhnlich, weil wenn wir R^2 als Körper auffassen, dann ja normalerweise als die komplexe Ebene mit entsprechender Multiplikation etc...Wobei´s natürlich nicht explizit aus der Aufgabe hervorgeht.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

So ungewöhnlich fände ich die Aufgabe dann nicht. Der wird zwar i.d.R.in den Vorlesungen als Vektorraum betrachtet, aber manchmal halt auch als Körper. Dass die Abbildung dann kein Homomorphismus ist, ist auch nicht schwierig zu zeigen.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt auch wieder. Meinst du dann mit Multiplikation und Addition wie in den komplexen Zahlen?
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Addition ist ja dieselbe wie im Vektorraum. Ja, ich meinte mit der Multiplikation wie im Komplexen. Man könnte die Multiplikation aber auch anders derfinieren, ist aber wohl nicht so üblich, da ohne großen Nährwert.
lexxi Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

R^2 als Vektorraum Augenzwinkern vergaß ich zu erwähnen. Ich dachte die Multiplikation ist nicht definiert, Oo? bzw wir haben es nur mit der addition gemacht
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

genau, wenn du den R^2 als vektorraum definierst dann hast du da kein Produkt von 2 Vektoren definiert, sondern "nur" die Skalarmultiplikation von einem Körperelement aus R mit einem Vektor und die komponentenweise Addition zweier vektoren.
Hast du allerdings die Menge R^2 gegeben, so kannst du daraus durch entsprechende Definition einer Multiplikation zweier Vektoren (und immernoch mit der komponentenweisen Addition) einen Körper machen.
Die Idee dazu ist folgende: Jede komplexe Zahl z lässt sich schreiben als z = Re + i Im, wobei Re den Real- und Im den Imaginärteil bezeichnet;
eine andere Schreibweise dazu ist (Re,Im), mit Re und Im aus den reelen Zahlen.
somit kannst du die Menge R^2 als die Menge der komplexen zahlen interpretieren. (man nennt den R^2 auch die komplexe ebene, komplexe zahlen lassen sich darin als vektoren auffassen.)
Die Multiplikation musst du dann auf dem R^2 so definieren, dass sie der gewohneten Multiplikation in den komplexen Zahlen entspricht. Die komplexen Zahlen sind ein Körper, somit ist dann auch der R^2 ausgestattet mit der besagten Multiplikation und Addition ein Körper. Braucht dich konkret für diese Aufgabe aber auch nicht zu kümmern.
lexxi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus
Okay... du schreibst:

Zitat:
Original von 12345678
Hallo! Die Bedingung an einen Homomorphismus ist im zweidimesionalen im Prinzip die gleiche wie im eindimensionalen, also f(a+b) = f(a) + f(b). Nur sind a und b jetzt eben Vektoren. Sprich: a = (c,d) und b = (e,f) für c,d,e,f aus den reelen Zahlen.
Also kannst du jetzt entweder a und b erst addieren (komponentenweise) und dann f darauf anwenden oder du wendest f auf a an und f auf b und addierst dann davon die Ergebnisse. Kommt das gleiche raus, hast du nen Homomorphismus. smile



ich habe allerdings diese Definition hier gefunden:


Okay, ich habe diese Definition im Netz (Mathepedia/Lineare Abbildungen) gefunden


f(\alpha u +\beta v)=\alpha f( u) +\beta f(v)

müsste ich dann nicht

f(\alpha u +\beta v)=\alpha f( u) +\beta f(v)

zeigen?
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

oh, sorry, stimmt, hab vergessen zu schreiben, dass man auch skalare rausziehen dürfen muss, also zusätzlich zu dem was ich vorher geschrieben hab muss auch gelten f(av)= a f(v)
für a aus dem Körper, v aus dem Vektorraum. Prüfst du die beiden Bedingungen nach, hast du´s gezeigt. Die Definition die du gefunden hast, fasst die beiden Bedingungen zu einer zusammen, ist äquivalent.
lexxi Auf diesen Beitrag antworten »

okay,

ich habe x und y wie folgt gewählt:
und

Beweis, Abbildung f(x,y)= x-y ist ein Vektorhom.

1.) Additivität









2.) Homogenität

...


soweit überhaupt richtig?
lexxi Auf diesen Beitrag antworten »

hat sich geklärt. danke.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

genau, bis auf ne kleinigkeit: x,y sind aus V nicht nicht die Komponeneten von x und y.
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