Basen von Kern und Bild |
| 17.12.2012, 12:23 | EllCommandante | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Basen von Kern und Bild Ich soll für F: R^4 -> R³ , v --> Av A ist eine 3x4 Matrix. Ich soll Basen vom Kern und Bild von F angeben. Für die Basen des Bildes muss ich doch einfach A*v rechnen und aus der entstehenden Matrix die Basen bestimmen. Fällt der vierte Vektor in v beim Übergang vom R^4 in den R³ einfach weg? Und wie bestimme ich die Basen eines Kerns? Ker(F) := F^-1 (0). Also ist der Kern einer Abbildung praktisch (in diesem Fall) die Vektoren, die multipliziert mit der Matrix den Nullvektor ergeben? Wäre dankbar für Hilfe. |
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| 17.12.2012, 12:34 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Basen von Kern und Bild
Das ist nicht nur in diesem Fall so, das ist immer so. 
Die Bestimmung des Kerns geht mittels des Gaußverfahrens, das ihr sicherlich gelernt habt. |
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| 17.12.2012, 13:26 | Commandante | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kann (0,0,0) auch Kern eines Bildes sein? Ich habe für mein konkretes beispiel nämlich (1,0,0) , (0,1,0), (0,0,0) und (0,0,1) nach lösen mit dem Gaußverfahren. |
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| 17.12.2012, 13:47 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was soll das sein? Kern eines Bildes? 
Wenn du "Kern einer linearen Abbildung" meinst, dann solltest du dich mit der Erkenntnis anfreunden, daß der Nullvektor immer ein Element des Kerns ist. 
Da deine Abbildung von R^4 --> R³ geht, besteht der Kern aus Vektoren des R^4. Außerdem ist der Kern ein Unterraum und mithin auch jede Linearkombination von Lösungsvektoren ebenfalls im Kern. |
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| 17.12.2012, 14:12 | Commandante | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zu ersterem ja ich meine kern einer lin. Abb. , danke den gedanken hatte ich auch dass der nullvektor ja logischerweise immer teil des kerns sein muss. Okk dann habe ich die Lösun wahrsh. Einfach falsch abgelesen und sie müsste (1,0,0,0) , (0,1,0,0), (0,0,0,1) lauten sowie (0,0,0,0) da man bei 4 unbekannten und 3 zeilen eine nullzeile ergänzen kann oder? Außerdem ist letzteres ja der besagt Nullvektor. |
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| 17.12.2012, 14:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mit meinem Hinweis, daß der Kern ein Unterraum ist, wollte ich ausdrücken, daß (1,0,0,0) , (0,1,0,0), (0,0,0,1) nicht die einzigen Lösungen sind, sondern allenfalls eine Basis des Kerns darstellen. Und was soll das Ergänzen mit einer Nullzeile bringen? Schlicht und ergreifend gar nichts. |
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| 17.12.2012, 14:32 | Commandante | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, also sind diese vektoren eine basis des kerns, laut aufgabe soll ich ja eine basis des kerns und eine des bildes angeben. Die basen des bildes sind aus dem R^3 oder? Wie ermittel ich diese? Ebenfalls gaußverfahren für Av dann? |
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| 17.12.2012, 14:37 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du bildest die Bilder der Basisvektoren des R^4, trägst diese zeilenweise in eine Matrix ein und bringst sie auf Zeilenstufenform. Die Nicht-Nullzeilen dieser Matrix bilden eine Basis des Bildes. Es wäre am Rande auch mal ganz nett, wenn du mal die Matrix A postest. |
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| 17.12.2012, 16:40 | Commandante | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry latex scheint nicht zu funktionieren, ich werde mal die matrix zeile für zeile wiedergeben. (1 1 0 1) (0 1 1 0) (1 1 0 0). So sieht das ganze aus. Denke mal meine basen sind falsch oder? Habe die Matrix auf ZSF gebracht und dann Gaußalgorithmus angewandt, am ende steht bei mir (1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 0 1) (wieder zeile für zeile die matrix wiedergegeben. Sind die vektoren der R^4 die der kern sind die einzelnen zeilen der matrix oder wie? |
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| 18.12.2012, 10:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In der Tat.
Hmm. Bei mir kommt raus.
Das kannst du ja mal ausprobieren. 
Wie man leicht sieht, gibt es nur eine freie Variable und somit besteht die Basis des Kerns aus nur einem Vektor. |
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