Zerfällungskörper von K[x] enthält nur Nullstellenmenge von K[x]?

Neue Frage »

18.12.2012, 18:03	12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfällungskörper von K[x] enthält nur Nullstellenmenge von K[x]? Meine Frage: Wenn ich einen Körper K betrachte und den Zerfällungskörper von K[x],den ich L nenne, gilt dann, dass in L nur Elemente liegen, die Nullstellen eines Polynoms in K[x] sind? Meine Ideen: L ist ja nach Definition von den Nullstellen der Polynome aus K[x] erzeugt, aber bedeutet das nun, dass auch der Rest, der dazukommt um nen Körper drauszumachen Nullstellen von irgendwelchen polynomen aus K[x] sind?
18.12.2012, 18:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein bißchen mehr steckt schon im Zerfällungskörper. Du brauchst eine Familie $\begin{eqnarray} \{f_i(X)\|f_i(X)\in K[X],i \in I\} \end{eqnarray}$ von Polynomen. Der Zerfällungskörper enthält dann alle rationalen Ausdrücke von Nullstellen der Polynome, also $\begin{eqnarray} \frac {g(\alpha,...)}{h(\alpha,...)} , h(\alpha,...) \ne 0 , g,h\in K[X_1,...,X_r] \end{eqnarray}$ .
18.12.2012, 18:15	12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke. Mir ist aber noch nicht ganz klar, was diese g(alpha,...) sind, sind das Polynome in mehreren Variablen? Die familie von Polynomen wär in dem Fall den ich meinte ja ganz K[x].
18.12.2012, 18:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die $\begin{eqnarray} g(\alpha,..) \end{eqnarray}$ sind Polynome in den Nullstellen der Polynomfamilie $\begin{eqnarray} f_i \end{eqnarray}$ . Wenn alle Nullstellen aller Polynome aus $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ im Zerfällungskörper enthalten sein sollen, dann spricht man vom algebraischen Abschluß $\begin{eqnarray} K^a \end{eqnarray}$ . Dieser ist algebraisch über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ , algebraisch abgeschlossen und enthält alle Nullstellen aller Polynome aus $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ , und er ist bis auf Isomorphie eindeutig.
18.12.2012, 21:53	12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutet Polynome in den Nullstellen der Polynomfamilie, dass die Koeffizienten aus den Nullstellen der Polynomfamilie sind? Weil die Nullstellen der Polynomfamilie sind ja feste Werte, wie kann ich die denn als Variablen auffassen? Ist das offensichtlich, dass der algebraische Abschluss außer den Nullstellen alle Polynome aus K[x] nichts mehr enthält, sprich algebraisch über K ist, oder steckt da noch was dahinter? Mir ist nicht ganz klar, wieso dadurch dass ich alle Nullstellen aus K[x] "zusammenwerfe" schon ein neuer Körper entsteht.
19.12.2012, 09:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Mit g(alpha,...) meine ich den Wert einer Polynomfunktion mit Koeffizienten aus K und den Nullstellen alpha,... der Polynomfamilie in einem geeigneten Erweiterungskörper von K. 2. Nein, offensichtlich ist das nicht. Zerfällungskörper geht noch, algebraischer Abschluß ist etwas komplizierter, dafür braucht man das Zorn'sche Lemma. Siehe z.B. "Bosch, Algebra, § 3.4" .
Anzeige

19.12.2012, 10:19	12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke!
19.12.2012, 11:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ist deine Frage auch anders gemeint. Deshalb hier ein paar wichtige Sätze (aus Bosch). Satz 7. Jede endliche Körpererweiterung K<L ist algebraisch. Satz 9. Sei L über K endlich erzeugt von algebraischen Elementen über K, dann ist der erzeugte Körper gleich dem erzeugten Polynomring, und L ist endliche (also algebraische) Erweiterung von K. Korollar 10. K<L Körpererweiterung. Dann ist äquivalent: (1) L/K ist endlich. (2) L wird über K von endlich vielen algebraischen Elementen erzeugt. (3) L ist endlich erzeugte algebraische Körpererweiterung von K. Korollar 11. K<L Körpererweiterung. Dann ist äquivalent: (1) L/K ist algebraisch. (2) L wird über K von algebraischen Elementen erzeugt.
19.12.2012, 21:42	12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt wenn ich Korollar 11 mal als gegeben annehme, dann folgt doch daraus direkt, dass der Zerfällungskörper über K[x] GENAU aus den Nullstellen der Polynome aus K[x] besteht, da er ja nach Definition von den Nullstellen der Polynome aus K[x] -sprich von algebraischen Elementen über K- erzeugt wird und dieser Zerfällungskörper somit mit Korollar 11 selbst algebraisch über K[x] ist und somit alle Elemente aus dem Zerfällungskörper Nullstelle eines Polynoms in K[x] sind oder?
20.12.2012, 10:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es. Ich hatte möglicherweise deine erste Frage mißverstanden, weil es nicht "den" Zerfällungskörper von K gibt. Es gibt zu jedem Polynom aus K[X] und zu jeder Familie von Polynomen aus K[X] einen (bis auf Isomorphie eindeutigen) Zerfällungskörper. Und es gibt den algebraischen Abschluss, in dem alle Polynome aus K[X] zerfallen, und der ist algebraisch, besteht also aus algebraischen Elementen, also aus Nullstellen von Polynomen aus K[X]. Auch der algebraische Abschluß von K ist bis auf Isomorphie eindeutig.
21.12.2012, 16:36	12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
war vllt auch nich so optimal formuliert gewesen von mir jetz hab ichs glaub ich scho bissl besser verstanden, danke für deine hilfe!

Neue Frage »

Antworten »

Zerfällungskörper von K[x] enthält nur Nullstellenmenge von K[x]?

Verwandte Themen