Determinante berechnen

19.12.2012, 12:26

Mathelehrer

Determinante berechnen

Meine Frage:
Hallo,

Aufageb:
Sei im Folgenden $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ der Körper mit zwei Elementen.

a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix
A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb F_{2}^{4\times 4} \end{eqnarray*}$

b) Berechnen Sie das Inverse der MAtrix
A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\in \mathbb F_{2}^{3\times 3} \end{eqnarray*}$

c) Berechnen Sie Determinante der Matrix
A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 15 & 39 & 5 & 8 & 9 \\ 0 & 3 & 1014 & 77 & 86 & 9 \\ 0 & 0 & 2 & 66 & 89 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 787 & 123 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 55 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \in \mathbb R^{6\times 6} \end{eqnarray*}$

d) Berechnen Sie Determinante der Matrix
A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \in \mathbb R^{6\times 6} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu a)

nach Spalte 3 entwickelt:

det(A) = 1 * 0 * det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + (-1) * 1 * det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 1 * 0 * det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + (-1) * 1 * det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

= - det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

= 0+0+0-1-0-0 - 0+1+1-0-1-0 = 0

zu b)

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\in \mathbb F_{2}^{3\times 3} \end{eqnarray*}$

zu c)

jeweils nach erster Spalte entwickelt (und auch nicht mehr so ausführlich)

det(A) = 1 * det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1014 & 77 & 86 & 9 \\ 0 & 2 & 66 & 89 & 3 \\ 0 & 0 & 5 & 787 & 123 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 55 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 0 * ...
= 3 * det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 66 & 89 & 3 \\ 0 & 5 & 787 & 123 \\ 0 & 0 & 4 & 55 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 0 * ...
= 3 * (-2) * det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 787 & 123 \\ 0 & 4 & 55 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 0 * ...
= 3 * (-2) * 5 * det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 55 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + 0 * ...
= 3 * (-2) * 5 * (4*6 - 0*55) = -720

zu d)

det(A) = 1 * det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
= 1 * 1 * det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
= 1 * 1 * (4 * det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - 3 * det $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )
= 4 * 5 * (9 - 6) - 3 * 2 *(9 - 6) = 24

19.12.2012, 16:02

mYthos

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a) b) stimmen

c)
Vorzeichen! 720 stimmt als Zahl.
Satz: Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Glieder der Hauptdiagonalen

d)
24? Eher 42!

mY+

20.12.2012, 09:46

Mystic

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Zitat:

Original von mYthos
d)
24? Eher 42!

Ja, mit der Antwort 42 liegt man bekanntlich immer richtig... Big Laugh

Hier die kurze Rechnung dazu

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} =1 \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix}4 & 2 \\3 & 5 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}3 &3 \\2 & 3\end{vmatrix} =14 \cdot 3 =42 \end{eqnarray*}$

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