Isom.von S3 und GL2(F2)

20.12.2012, 15:44

Stefan03

Isom.von S3 und GL2(F2)

Hi,

ich soll zunächst alle Elemente der $\begin{eqnarray*} GL_2(F_2) \end{eqnarray*}$ , sprich alle invertierbaren Matrizen im Körper mit 2 Elementen. Das sind ja alle 2x2 Matrizen mit det $\begin{eqnarray*} \ne 0 \end{eqnarray*}$ und davon habe ich 6 Stück gefunden, nämlich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann erinnere ich mich an einen Satz, der besagt, dass 2 Gruppen genau dann isomorph sind, wenn sie gleich viele El. der Ordnung 2 enthalten.

In obiger Aufzählung ist aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das einzige Element der Ordnung 2.

Die $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ hat aber $\begin{eqnarray*} (3-2)!\binom{3}{2}=3 \end{eqnarray*}$ 2-Zykel, also auch 3 Elemente der Ordung 2.

Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler liegt oder gibts eine "bessere" Lösungsmöglichkeit?

20.12.2012, 16:37

ollie3

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RE: Isom.von S3 und GL2(F2)
hallo,
da hast du dich verrechnet, es gibt tatsächlich 3 matrizen der ordnung 2,nämlich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\0 & 1 \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\1 & 1 \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} 0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
die sache geht also genau auf. smile

gruss ollie3

20.12.2012, 17:26

Stefan03

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Ah danke...ich Held...wir sind ja in $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ und da ist ja $\begin{eqnarray*} 2=0 \end{eqnarray*}$

Ok, dann gehts gleich weiter.

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} G:=\{ v \to Av+b|A \in GL_2(F_2), b \in F_2\} \end{eqnarray*}$ isom. zu $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ ist.

Mittels Kombinatorik erhalte ich, dass $\begin{eqnarray*} |G|=24=|S_4|=4! \end{eqnarray*}$

Soll ich auch hier den Weg über die Anz. der El. der Ord. 2 nehmen? Aber das wird ja jetzt schon eher aufwendig...

20.12.2012, 18:11

Baby seal

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Hi, kurzer Einspruch

Zitat:

Dann erinnere ich mich an einen Satz, der besagt, dass 2 Gruppen genau dann isomorph sind, wenn sie gleich viele El. der Ordnung 2 enthalten.

In dieser Formulierung gilt das definitv nicht.
Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_5 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ zyklische Gruppe der Ordnung n) haben beide keine Elemente der Ordnung 2 sind aber nicht isomorph.

20.12.2012, 20:08

RavenOnJ

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was soll denn $\begin{eqnarray*} Av+b|A \in GL_2(F_2), b \in F_2 \end{eqnarray*}$ sein? Ich vermute mal, $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb{F}_2^2 \end{eqnarray*}$ . Dann müsste aber auch $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb{F}_2^2 \end{eqnarray*}$ sein.

21.12.2012, 09:42

Stefan03

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Hi,

ja, $\begin{eqnarray*} v, b \in F_2^2 \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 10:16

Mystic

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Aus algebraischer Sicht bietet sich hier folgendes Bild: Da man die Skalarmultiplikation im Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2^2 \end{eqnarray*}$ im wahrsten Sinne des Wortes "vergessen" kann, geht es hier um die Automorphismen der additiven Gruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2^2 \end{eqnarray*}$ ... Diesen entsprechen aber wieder umkehrbar eindeutig die 3! bijektiven Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2^2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2^2 \end{eqnarray*}$ , welche das Nullelement festlassen... Damit ist man also direkt und ohne Umwege bei der symmetrischen Gruppe $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ ...

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