Stetigkeit einer Cosinus Funktion

21.12.2012, 16:25

Asbest

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Stetigkeit einer Cosinus Funktion

Meine Frage:
Gegeben ist die Funktion die $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abbildet und $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x) \end{eqnarray*}$ is definiert durch:

$\begin{eqnarray*} x^n * \cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

Nun soll erst gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} f_{0} \end{eqnarray*}$ an der Stelle x=0 stetig ist.
Dann dass $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ an der stelle x=0 zwar stetig aber nicht differenzierbar ist.
Und zu guter letzt, dass die Funktion für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ an der stelle x=0 differenzierbar ist.

Meine Ideen:
Habe bei der ersten Aufgabenstellung damit begonnen den linksseitigen Grenzwert zu bilden ... hier entsteht allerdings $\begin{eqnarray*} \cos(-\infty ) \end{eqnarray*}$ . Kann ich irgendwie Umformen um hier einen Grenzwert zu bekommen oder muss ich die Stetigkeit anders beweisen ?

21.12.2012, 17:50

Monarius

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RE: Stetigkeit einer Cosinus Funktion

Zitat:

Nun soll erst gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} f_{0} \end{eqnarray*}$ an der Stelle x=0 stetig ist.

Steht das so in der Aufgabenstellung? Wenn ja, dann ist die so falsch.
Hast du eine Vorstellung davon, wie die Funktion aussieht?
Es ist im Prinzip ähnlich wie bei $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

21.12.2012, 18:19

Asbest

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In der Angabe steht:
"Zeigen sie: 1. $\begin{eqnarray*} f_{0} \end{eqnarray*}$ ist an der Stelle x = 0 stetig."

Ja, eine Kosinusfunktion die sich entfernt von x=0 streckt und in der nähe von x=0 staucht.
also kann man den limes für x gegen 0 nicht bestimmen ?

21.12.2012, 18:29

Che Netzer

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Ich denke, ihr sollt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f_0 \end{eqnarray*}$ an der Stelle Null unstetig ist.

21.12.2012, 18:35

Asbest

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kommt mir auch sinnvoller vor.

aber wie genau zeige ich dann dass sie das ist, ohne einen grenzwert bilden zu können ?

21.12.2012, 18:39

Monarius

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Falls ihr Folgenstetigkeit hattet kannst du dir, um die Unstetigkeit in 0 kurz zu zeigen, zwei Folgen raussuchen, die gegen 0 konvergieren, für die jedoch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}cos\left(\frac{1}{a_n}\right) \neq \lim_{n\to\infty}cos\left(\frac{1}{b_n}\right) \end{eqnarray*}$
gilt. Wenn die Funktion in 0 stetig wäre, müssten die Grenzwerte ja gleich sein.

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21.12.2012, 19:08

Asbest

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Folgenstetigkeit sagt mir leider garnichts :/

gibts evtl noch eine andere variante ?

21.12.2012, 19:32

Monarius

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Okay, wie habt ihr Stetigkeit denn definiert?

21.12.2012, 19:41

Asbest

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Dass eine Funktion an einem Punkt stetig ist wenn

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}^+ } f(x) = \lim_{x \to x_{0}^- } f(x) = \lim_{x \to x_{0} } f(x) = f(x_{0}) \end{eqnarray*}$

gilt.

21.12.2012, 19:51

Monarius

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Also, wie du richtig festgestellt hast, existiert der Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} f(x) \end{eqnarray*}$
nicht, weil eben der linksseitige/rechtsseitige Grenzwert nicht existieren.

Die Gleichheit wie du sie hingeschrieben hast, kann nur gelten, wenn die Grenzwerte jeweils überhaupt existieren.
Dementsprechend reicht es zu zeigen, dass einer der Grenzwerte nicht existiert, denn dann kann die Gleichheit nicht gelten.
Ob du jetzt den rechtsseitigen oder linksseitigen Grenzwert nimmst, bleibt dir überlassen smile

smile

21.12.2012, 19:58

Asbest

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okay dankeschön smile

smile

21.12.2012, 20:48

Asbest

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okay jetzt muss ich doch nochmal fragen:

bin jetzt beim dritten aufgabenteil.
um zu zeigen dass eine Funktioin an einer stelle differenzierbar ist bilde ich die ableitung und betrachte dann die grenzwerte der ableitung am zu untersuchenden punkt.
ist das überhaupt korrekt ?

meine ableitung lautet dann eben für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = n x^{n-1} * \cos(\frac{1}{x}) + \frac{x^n}{x^2} * \sin(\frac{1}{x} ) \end{eqnarray*}$

aber da finde ich (zumindest in dieser form) auch keinen Grenzwert.

Jemand einen vorschlag was ich machen könnte?

21.12.2012, 21:05

Monarius

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Zitat:

ist das überhaupt korrekt ?

Nein, du verwechselst da zwei Dinge:
Was du versuchst ist die Stetigkeit der Ableitung in 0 zu zeigen.
Das ist sogar noch etwas mehr, als du eigentlich zeigen sollst.
Was hier gesucht ist, ist eigentlich nur die Differenzierbarkeit in 0, also dass die Ableitung dort überhaupt existiert.

-> Einsetzen in den Differenzenquotient

Übrigens: Die Ableitung für den Fall n=2 ist gleich ein Beispiel dafür, dass Ableitungen auch unstetig sein können.

21.12.2012, 21:13

Asbest

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ah okay dnake ... gut zu wissen Big Laugh

Big Laugh

aber muss ich nicht in den Differenzialquotienten einsetzen um auf Differenzierbarkeit zu prüfen ?

21.12.2012, 21:26

Monarius

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Mh, ich meinte eigentlich in den Differenzenquotienten einsetzen und Grenzwert bilden.
Das ist dann ja gerade der Differentialquotient.
Hätte ich aber explizit hinschreiben sollen, stimmt smile

smile

22.12.2012, 13:55

Asbest

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ja stimmt hätte ich mir denken können Big Laugh

Big Laugh

mit dem differenzenquotienten erhalte ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\Delta x} * ((x_{0}+ \Delta x) \cos(\frac{1}{x_{0}+ \Delta x}) - x_{0} \cos(\frac{1}{x_{0}})) \end{eqnarray*}$

nun weiss ich leider nicht wie ich hier vereinfachen kann um den limes zu bilden

22.12.2012, 18:24

Monarius

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Dann mal zwei Dinge:
Was ist denn $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ? Dafür kannst du überall einen konkreten Wert einsetzen.

Dann dürfte dir auch auffallen, dass der Term
$\begin{eqnarray*} x_0\cos\left(\frac{1}{x_0}\right) \end{eqnarray*}$
so keinen Sinn macht. Da steht $\begin{eqnarray*} f(x_0) = f(0) \end{eqnarray*}$ und das ist per Definition 0.

Außerdem ist dir hier
$\begin{eqnarray*} (x_0 + \Delta x)\cos\left(\frac{1}{x_0 + \Delta x}\right) \end{eqnarray*}$
wohl ein Exponent verloren gegangen.

27.12.2012, 12:39

Asbest

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okay danke
nun habe ich für $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ überall 0 eingesetzt und den letzten Term wegen $\begin{eqnarray*} f(x_{0}) = f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ weggelassen und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\Delta x} (\Delta x) * \cos(\frac{1}{\Delta x})= \cos(\frac{1}{\Delta x}) \end{eqnarray*}$

und da der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \cos(\frac{1}{\Delta x}) \end{eqnarray*}$ nicht bestimmtbar ist wäre doch bewiesen dass $\begin{eqnarray*} f_{1}(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist ?

Der einzige Exponent ist doch bei $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ und nachdem $\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$ ist dieser doch in diesem Fall nicht weiter interessant ?

27.12.2012, 13:00

Monarius

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In diesem Fall ja, allerdings hattest du geschrieben, dass du beim dritten Aufgabenteil bist, bei dem der Exponent dann eine entscheidende Rolle spielt.
Dein Gedankengang stimmt aber.
Eine Funktion ist differenzierbar in einem Punkt, wenn der Grenzwert existiert - und der existiert hier nicht (, was du auch schon in Aufgabenteil 1 gezeigt hast).

27.12.2012, 13:05

Asbest

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ja gerade darauf gestossen Augenzwinkern

Augenzwinkern

hier erhalte ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\Delta x} \Delta x ^n * \cos(\frac{1}{\Delta x}) \end{eqnarray*}$

also quasi:

$\begin{eqnarray*} \Delta x ^{n-1} * \cos(\frac{1}{\Delta x}) \end{eqnarray*}$

ist das korrekt ?

27.12.2012, 13:13

Monarius

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Jup, und wenn man weiß, dass der Kosinus beschränkt ist, dann ist auch der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} \Delta x \to 0 \end{eqnarray*}$ kein Hexenwerk mehr.

27.12.2012, 13:24

Asbest

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Aaaaaah natürlich .. hätte ich wohl selbst drauf kommen können Augenzwinkern

Augenzwinkern

dann vielen herzlichen dank für die viele Hilfe smile

smile

31.12.2012, 04:38

wemsor

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Ich glaube am Anfanag habt ihr einen Fehler gemacht.
So wie ich das verstanden habe handelt es sich um eine abschnittweise definierte Funktion die in x=0 als 0 definiert ist. Also ist sie dort auf jeden Fall stetig.

31.12.2012, 08:07

Monarius

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Wo genau? Bei $\begin{eqnarray*} f_0 \end{eqnarray*}$ ?

Die Funktion ist in $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ zwar definiert, wenn sie dort stetig wäre müssten aber der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren (und mit $\begin{eqnarray*} f_0(0) \end{eqnarray*}$ übereinstimmen).
Hier scheitert es an der Existenz der Grenzwerte.

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