Mittelwertsatz für Funktion mit Parameter

Neue Frage »

Asbest Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwertsatz für Funktion mit Parameter
Meine Frage:
Gegeben ist die Funktion
mit
auf dem Intervall

Zu Bestimmen sind alle aus für die der Mittelwertsatz erfüllt ist.

Meine Ideen:
Ich habe damit Angefangen die Werte am Rand der Funktion zu berechnen, also f(1) und f(3) und habe daraus die Steigung berechnet:


Anschliessend habe ich die Ableitung der Funktion berechnet und sie gleich der Steigung gesetzt um die x-Werte der jeniger Punkt in abhängigkeit von a zu finden, an welchen die gleiche Steigung vorliegt:




Dann habe ich die Mitternachtsformel verwendet und bin zum Ergebnis gekommen:



die Diskriminante kann schonmal nicht kleiner 3 werden.
Allerdings müsste ich nun die Ergebnisse ja noch auf das Intervall beschränken, wenn denn der Rechenweg überhaupt korrekt ist ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechnung erscheint mir bisher korrekt.
Nun müssen aus



alle zulässigen Werte für a ermittelt werden.
Dabei sieht es so aus (wenn man die obige Gleichung nach a auflöst), dass alle reellen Werte für a, ausgenommen ein einziger bestimmter Wert, möglich sind.

mY+
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

habe jetzt das ganze nach a aufgelöst und erhalten:



woraus folgt, dass undgleich 2 sein muss.

Aber wie komme ich jetzt auf die gültigen a ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Kürze noch zu



Nun setze für die Ränder des Intervalls. Untersuche dabei die Monotonie und den Wertebereich von .



Wir sehen, dass alle x-Werte des Intervalls - ausser 2, wie bereits berechnet - von beliebigen reellen a erreicht werden. Dies erkennt man auch, wenn man die beiden Umkehrfunktionen betrachtet.



mY+
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

nach dem Einsetzen der Ränder erhalte ich: a(1) = 5 und a(3) = 7

ist monoton steigend, der Wertebereich ist ganz und der Definitionsbereich

Für die Umkehrfunktionen, also mein , gilt also ebenfalls dass die Funktionen monoton steigend sind.

Allerdings ershcliesst sich mir hieraus noch nicht was denn nun alle meine auf dem Intervall sind (fehlt mir ein Schritt oder stehe ich gerade auf dem Schlauch ?)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das heisst also, alle x - ausser x = 2 - aus dem Intervall [1; 3] erfüllen die Bedingung, weil man jedes beliebige a € R einsetzen kann.
In der zweiten Grafik ist ersichtlich, dass alle reellen a (--> waagrecht) durch x-Werte aus [1; 3] (--> senkrecht) erreicht werden können. Ausgenommen ist x = 2, dorthin nähert sich die Kurve der Umkehrfunktion asymptotisch.

mY+
 
 
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

also kann ich im Endeffekt die Antwort geben:



Ist das so korrekt ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es smile (Wenn wir nichts übersehen haben ..)

mY+
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin nur gerade am überlegen ob es nun als:



oder als:



korrekt ist ? :S
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Letzteres erscheint korrekt.

mY+
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »