Reihe Konvergenz

23.12.2012, 14:06

deserto12

Reihe Konvergenz

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac {k^3-k+2} {k^5+3k^2-5} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \frac {k^3-k+2} {k^5+3k^2-5} = \frac {1-\frac 1{ k^2} + \frac 2{ k^3}} {k^2 + \frac 3 k - \frac 5 {k^3}} = \frac 1{ k^2} \cdot \frac {1- \frac 1 {k^2} + \frac 2 {k^3}} {1+ \frac 3 {k^3} - \frac 5 k} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac {1- \frac 1 {k^2} + \frac 2 {k^3}} {1+ \frac 3 {k^3} - \frac 5 k} = 1 \end{eqnarray*}$

gibt es eine reelle Konstante C > 0, sodass

$\begin{eqnarray*} |\frac {k^3-k+2} {k^5+3k^2-5}| \leq \frac C {k^2} \end{eqnarray*}$

ich verstehe die Einführung der Konstanten und die Begründung dafür nicht.

mfg

23.12.2012, 16:52

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihe Konvergenz
Bei deiner Aufgabe soll gezeigt werden, dass die Summe einen endlichen Grenzwert hat, dafür muss dieser nicht berechnet werden.

Man kann die Summe nach oben abschätzen.
Wenn alle Summanden positiv sind, können in diesem Fall die Summanden nach oben abgeschätzt werden durch $\begin{eqnarray*} \frac{C}{k^2} \end{eqnarray*}$ wodurch man
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{ k^3-k+2}{k^5-3k^2-5}\leq \sum\limits_{k=0}^\infty\left| \frac{ k^3-k+2}{k^5-3k^2-5} \right| \leq \sum\limits_{k=0}^\infty\left| \frac{ C}{k^2} \right| \end{eqnarray*}$ erhält.
Diese Summe ganz rechts sollte dir bekannt vorkommen und von dir auch berechnet werden können. Hierdurch hast du eine Majorante für deine Summe und sogar eine obere Schranke.

23.12.2012, 23:14

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe aber nicht wieso die Abschätzung der Summanden gilt

24.12.2012, 12:06

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihe Konvergenz
Berechne die ersten 2 bis 4 Summanden explizit. Die restlichen Summanden können betragsmäßig nach oben abgeschätzt werden. indem der Zähler $\begin{eqnarray*} k^3-k+2 \end{eqnarray*}$ vergrößert und/oder der Nenner $\begin{eqnarray*} k^2\left( k^3+3-\frac{5}{k^2}\right) \end{eqnarray*}$ verkleinert werden. Evtl. Bestimmung des Extremwertes von
$\begin{eqnarray*} \frac{k^3-k+2}{\left( k^3+3-\frac{5}{k^2}\right)} \end{eqnarray*}$ .

24.12.2012, 12:13

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihe Konvergenz
Das hört sich etwas seltsam an...
Die Idee ist, dass der Faktor neben $\begin{eqnarray*} \frac1{k^2} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, da

Zitat:

Original von deserto12
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac {1- \frac 1 {k^2} + \frac 2 {k^3}} {1+ \frac 3 {k^3} - \frac 5 k} = 1 \end{eqnarray*}$

Den Extremwert braucht man gar nicht zu berechnen.

24.12.2012, 16:33

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

heißt beschränkt nach oben und unten beschränkt ?

ich verstehe es leider noch nicht.

24.12.2012, 16:37

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach oben und unten – oder äquivalent, dass der Betrag davon nach oben beschränkt ist, das ist hier auch wichtig.
Die Beschränktheit folgt dabei aus der Konvergenz.

04.01.2013, 13:21

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} |\frac {k^3-k+2} {k^5-3k^2-5}| = |\frac 1 {k^2}| \cdot |\frac {1- \frac 1 {k^2} + \frac 2 {k^3}}{1+ \frac 3 {k^3} - \frac 5 k }| \leq \frac C {k^2} \end{eqnarray*}$

@che sorry ich hatte den thread über die Feiertage vergessen

04.01.2013, 14:00

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ungleichung sieht schonmal gut aus.
Nochmal das Vorgehen:
-> Man klammert die höchste Potenz aus (in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \frac1{k^2} \end{eqnarray*}$ ).
-> Der "Restbruch" konvergiert dann gegen eine reelle Zahl.
-> Deshalb ist der beschränkt.
-> Man kann ihn nach oben durch eine Konstante abschätzen.
-> Jetzt hat man eine konvergente Majorante.

04.01.2013, 14:05

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

die Majorante ist ja dann die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum^\infty \frac C {k^2} \end{eqnarray*}$ die ja konvergiert, also ich denke ich habe es verstanden danke für die Hilfe

04.01.2013, 14:08

Anahita

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihe Konvergenz
Sorry dass ich mich einmische, aber ist da der Nenner auf der rechten Seite der Ungleichung nicht falsch:

Zitat:

Original von deserto12
$\begin{eqnarray*} = \frac {1-\frac 1{ k^2} + \frac 2{ k^3}} {k^2 + \frac 3 k - \frac 5 {k^3}} = \frac 1{ k^2} \cdot \frac {1- \frac 1 {k^2} + \frac 2 {k^3}} {1+ \frac 3 {k^3} - \frac 5 k} \end{eqnarray*}$

04.01.2013, 14:22

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihe Konvergenz
Stimmt, ganz "unten links" müsste es $\begin{eqnarray*} k^5 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ heißen smile

@deserto12: Ja, genau das ist die Majorante.

04.01.2013, 15:02

deserto12

Auf diesen Beitrag antworten »

nochmal ne kurze Frage, auch wenn es in der Aufgabenstellung nicht gefragt wurde, kann man den Wert der Reihe ermitteln oder weiss man nur das sie konvergiert?

04.01.2013, 15:06

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wüsste nicht, wie man das machen sollte. Vielleicht kann man über irgendeine ausgeklügelte Fourier-Reihe den Wert bestimmen, aber das würde ich lieber nicht versuchen wollen.
Generell kann man bei Reihen nur schwer einen Grenzwert bestimmen. Das geht bei geometrischen und Teleskopreihen noch recht gut; ansonsten müsste man Glück haben und eine Taylor-/Fourierreihe finden, die mit der betrachteten Reihe übereinstimmt.

Neue Frage »

Antworten »

Reihe Konvergenz

Verwandte Themen