Taylorreihe

23.12.2012, 23:32

Alexandra Ardanex

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Taylorreihe

Meine Frage:
Guten Abend und Frohe Weihnachten an alle.
Ich sitze an einer Aufgabe und habe Probleme. Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie die Taylor-Reihen $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}x^{n} \end{eqnarray*}$ der folgenden Funktionen um $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ . Geben Sie die folgenden Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ an.

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=a^{x} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+x)^{2}} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} f(x)=sinh(x)=\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-x^{2}} \end{eqnarray*}$

Hilfe: Die Rechnungen vereinfachen sich, wenn Sie die Funktionen auf Ausdrücke zurückführen deren Taylorreihen Ihnen bekannt sind.

Meine Ideen:
Also die allgeimeine Formel lautet $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n} \end{eqnarray*}$ Aber wie ich das jetzt speziell für a) mache ist mir nicht so verständlich. Man bildet ja die Ableitungen. Es steht ja noch nicht mal bis welcher Ordnung ich es machen soll. Danke, würde mich freuen wenn mich jemand in die richtige Spur weist,

23.12.2012, 23:35

Che Netzer

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RE: Taylorreihe
Vielleicht könnt ihr beide euch da gemeinsam in einem der Threads oder per PN beraten Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.12.2012, 23:53

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
verwirrt

verwirrt

Wieso habe ich das alles so lange eingetippt unglücklich

unglücklich

. Naja viel weiter ist er ja leider aber auch nicht.

25.12.2012, 01:50

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
Gute Nacht. Irgendwie klappt der Vorschlag leider nicht. Vielleicht hat doch jemand einen guten Tipp?

27.12.2012, 10:43

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von Che Netzer
Vielleicht könnt ihr beide euch da gemeinsam in einem der Threads oder per PN beraten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schade, dass weder ihm noch mir geholfen wird unglücklich

unglücklich

27.12.2012, 10:46

lgrizu

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RE: Taylorreihe
Bilde für deine Aufgabe a) doch einmal die ersten drei oder vier Ableitungen, was fällt auf?

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27.12.2012, 11:00

lgrizu

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Schade, dass weder ihm noch mir geholfen wird unglücklich

unglücklich

Ebenso schade, dass du dich, sobald dir geholfen wird, wieder aus dem Board verdrückst, also offline gehst.........

28.12.2012, 01:55

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von lgrizu

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Schade, dass weder ihm noch mir geholfen wird unglücklich

unglücklich

Ebenso schade, dass du dich, sobald dir geholfen wird, wieder aus dem Board verdrückst, also offline gehst.........

Ich hatte die Hoffnung aufgegeben, dass mir jemand hier hilft... Und die ersten 4 Ableitungen kann ich bilden und sehe was passiert aber was sagt mir das, oder anders ausgedrückt wie bestimme ich die Taylorreihe
$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}ln(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}ln^{2}(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}ln^{3}(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}ln^{4}(a) \end{eqnarray*}$

Danke für deine Antwort.

28.12.2012, 08:32

Mystic

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Und die ersten 4 Ableitungen kann ich bilden und sehe was passiert aber was sagt mir das, oder anders ausgedrückt wie bestimme ich die Taylorreihe
$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}ln(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}ln^{2}(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}ln^{3}(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}ln^{4}(a) \end{eqnarray*}$

Hm, soll das ein ein Multiple-Choice Test werden? Du gibst für die erste Ableitung vier Möglichkeiten an und wir sollen dann die richtige davon herausfinden? geschockt

geschockt

Außerdem war der Weg in dem anderen Thread mit

$\begin{eqnarray*} a^x=e^{x \ln a} \end{eqnarray*}$

und Einsetzen in

$\begin{eqnarray*} e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac {x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

schon der richtige und auch kürzere...

28.12.2012, 10:45

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von Mystic
Hm, soll das ein ein Multiple-Choice Test werden? Du gibst für die erste Ableitung vier Möglichkeiten an und wir sollen dann die richtige davon herausfinden?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}ln(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=a^{x}ln^{2}(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=a^{x}ln^{3}(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x)=a^{x}ln^{4}(a) \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich kein Multiple-Choice Test... traurig

traurig

Es war spät und ich habe vergessen die Ableitungen kenntlich zu machen
Das Problem ist nun, dass ich nicht weiß wie ich einsetzen soll.

Danke.

28.12.2012, 11:32

Mystic

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RE: Taylorreihe
Du brauchst eine allgemeine Formel für

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \quad (n \in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$

denn deine gesuchte Taylorreihe ist ja gerade

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

29.12.2012, 01:18

Alexandra Ardanex

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Hm und wie könnte eine allgemeine Formel lauten ? Danke smile

smile

29.12.2012, 08:18

Monoid

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RE: Taylorreihe
Es ist ja $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=a^{x}\ln^{n}(a) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt muss du für x null einsetzen. Dann hast du die Formel für $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ .

29.12.2012, 10:59

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
Stimmt, da habe ich was von gelesen verwirrt

verwirrt

Wir haben $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=a^{x}\ln^{n}(a) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f^{(0)}(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(1)}(0)=\ln(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(2)}(0)=\ln^{2}(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(3)}(0)=\ln^{3}(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(0)=\ln^{4}(a) \end{eqnarray*}$

Und nun bringt man es mit den Ableitungen wie in Verbindung?

Dankeee smile

smile

29.12.2012, 11:03

Monoid

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Hast du echt keine Ideen?
Bei der $\begin{eqnarray*} \color{red}1\color{red} \end{eqnarray*}$ . Ableitung hast du den ln(a) hoch $\begin{eqnarray*} \color{red}1\color{red} \end{eqnarray*}$ ...

Kannst du eigentlich nachvollziehen, wie ich auf die Formel für $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$ gestoßen bin?

29.12.2012, 11:04

lgrizu

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RE: Taylorreihe
Wir haben doch nun die berechtigte Vermutung, dass gilt $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x=0)= (\ln (a))^n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist ein wenig Vorsicht geboten, denn dieses a stimmt nicht mit dem a in der Taylorreihe überein, in der Taylorreihe ist das a die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , also der Entwicklungspunkt, in der Funktion ist das a eine feste Konstante!

Nun kann man das ganze einfach einsetzen.

Man kann aber auch, wie in dem anderen Thread bereits beschrieben und von Mystik noch mal aufgegriffen, die Funktion umschreiben und in die Taylorreihe (oder der Reihenschreibweise, das stimmt bei der e Funktion überein) der e-Funktion einsetzen.

29.12.2012, 11:15

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Hast du echt keine Ideen?
Bei der $\begin{eqnarray*} \color{red}1\color{red} \end{eqnarray*}$ . Ableitung hast du den ln(a) hoch $\begin{eqnarray*} \color{red}1\color{red} \end{eqnarray*}$ ...

Kannst du eigentlich nachvollziehen, wie ich auf die Formel für $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$ gestoßen bin?

An der Formel sieht man ja, dass mit jeder Ableitung der ln um einen Faktor n zunimmt. Deswegen ist sie so gewählt. Das ist alles noch Neuland für mich, bin Erstsemester Ups

Ups

Zitat:

Original von lgrizu
Wir haben doch nun die berechtigte Vermutung, dass gilt $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x=0)= (\ln (a))^n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist ein wenig Vorsicht geboten, denn dieses a stimmt nicht mit dem a in der Taylorreihe überein, in der Taylorreihe ist das a die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , also der Entwicklungspunkt, in der Funktion ist das a eine feste Konstante!

Nun kann man das ganze einfach einsetzen.

Man kann aber auch, wie in dem anderen Thread bereits beschrieben und von Mystik noch mal aufgegriffen, die Funktion umschreiben und in die Taylorreihe (oder der Reihenschreibweise, das stimmt bei der e Funktion überein) der e-Funktion einsetzen.

Klingt gut nur wenn ich jetzt das selbst umsetzen soll wird es kritisch. Aber ich versuch mal. Dankeschön Euch

29.12.2012, 11:38

lgrizu

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RE: Taylorreihe
Aber im Prinzip ist das doch simples einsetzen von $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0) \end{eqnarray*}$ in die Taylorreihe $\begin{eqnarray*} \sum\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \cdot (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

Ich ahbe hier in der Reihe nun absichtlich den Entwicklungspunkt mit $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und nicht mit a bezeichnet, um ebend angesprochenem Missverständnis vorzubeugen.

Nun setze da doch mal deine Vermutung über die Ableitung ein, was erhälst du?

29.12.2012, 13:37

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\sum\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \cdot (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0)=1+\frac{ln(a)}{1!}+\frac{ln^{2}(a)}{2!}+\frac{ln^{3}(a)}{3!}+\frac{ln^{4}(a)}{4!}... \end{eqnarray*}$

So in der Form?

29.12.2012, 13:42

lgrizu

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RE: Taylorreihe
So in etwa, aber etwas Konzentration bitte, die Ableitung ist nicht gleich der Taylorreihe, das Gleichheitszeichen hier macht also keinen Sinn, rechts steht die Taylorreihe, die als Koeffizienten die Ableitungen an der Stelle x=0 enthält, links steht die Ableitung, das ist ziemlich falsch....

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0)\color{red}{=} \color{black}\sum\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \cdot (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0)\color{red}{=} \color{black}1+\frac{ln(a)}{1!}+\frac{ln^{2}(a)}{2!}+\frac{ln^{3}(a)}{3!}+\frac{ln^{4}(a)}{4!}... \end{eqnarray*}$

Des weiteren fehlt in der zweiten Darstellung die Exponenten von x, besser gesagt der Faktor $\begin{eqnarray*} (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ .

Auch hier ist der Entwicklungspunkt ein zusetzen.

Also noch mal sauber aufschreiben....

29.12.2012, 13:53

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0)\color{red}{=} \color{black}\sum\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \cdot (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0)\color{red}{=} \color{black}1+\frac{ln(a)}{1!}+\frac{ln^{2}(a)}{2!}+\frac{ln^{3}(a)}{3!}+\frac{ln^{4}(a)}{4!}... \end{eqnarray*}$

Stimmt hast recht. Hab's auf'm Zettel stehen und nicht übertragen. Konzentration wäre echt angebracht. Danke. Also so ?

$\begin{eqnarray*} f(x)=1+\frac{ln(a)}{1!}+\frac{ln^{2}(a) x^{2}}{2!}+\frac{ln^{3}(a) x^{3}}{3!}+\frac{ln^{4}(a) x^{4}}{4!}... \end{eqnarray*}$

müsste es stimmen?

29.12.2012, 13:58

lgrizu

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RE: Taylorreihe
Nun hast du sowohl die Funktion als auch die Taylorreihe mit f(x) bezeichnet, das geht genauso wenig..... unglücklich

unglücklich

Und immer noch fehlt der Faktor $\begin{eqnarray*} (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ .....

Warum du auch die Summe unbedingt ausschreiben möchtest ist mir schleirhaft.

Also nocheinmal:

Einsetzen von $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0=0)=( \ln(a) )^n \end{eqnarray*}$ in die Talorreihe $\begin{eqnarray*} T(x)=\sum \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \cdot (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ ergibt was ????

29.12.2012, 14:02

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
verwirrt

verwirrt

Hä $\begin{eqnarray*} (x-x_{0})^{n} \end{eqnarray*}$ Habe ich doch jeweils im Zähler aufgeschrieben mit $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ,x^{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ,x^{4} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} (x-0)^{n} \end{eqnarray*}$

29.12.2012, 14:08

lgrizu

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RE: Taylorreihe
Jap, hab ich übersehen, ist richtig, dennoch ist die Bezeichnung f(x) sowohl für die Taylorreihe als auch für die Funktion selbst nicht üblich bzw. verwirrend.

Fernerhin schreibt man das weiterhin als unendliche Summe, also:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{ (\ln(a))^n}{n!} \cdot x^n \end{eqnarray*}$

Damit hätten wir also schon mal die Taylorreihe in der Form $\begin{eqnarray*} \sum a_n (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

Was ist nun die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?

29.12.2012, 14:16

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von lgrizu

Damit hätten wir also schon mal die Taylorreihe in der Form $\begin{eqnarray*} \sum a_n (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

Was ist nun die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?

Das habe ich mich auch gerade gefragt. Ich habe ehrlich gesagt keine Idee. Außer, dass es halt immer um n wächst das ln und das x. verwirrt

verwirrt

29.12.2012, 14:40

Mystic

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Das habe ich mich auch gerade gefragt. Ich habe ehrlich gesagt keine Idee.

Das hier sollte deinem Kurzzeitgedächtnis auf die Sprünge helfen:

Zitat:

Original von Mystic
Du brauchst eine allgemeine Formel für

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \quad (n \in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$

denn deine gesuchte Taylorreihe ist ja gerade

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

29.12.2012, 15:00

Alexandra Ardanex

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Irgendwie starr ich das schon eine Weile an. Leider vergebens unglücklich

unglücklich

29.12.2012, 15:05

Monoid

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RE: Taylorreihe
Mystic hat doch schon alle hingeschrieben.

Zitat:

Original von Mystic
Du brauchst eine allgemeine Formel für

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \quad (n \in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$

denn deine gesuchte Taylorreihe ist ja gerade

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

Nur musst du $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ durch einen Ausdruck ersetzen, den wir schon vorher erarbeitet haben...

30.12.2012, 22:24

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x=0)= (\ln (a))^n? \end{eqnarray*}$

Hier hätten wir das oder? Und das ist unser $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ? Und wie baue ich das jetzt ein? Mir sind die Schritte nicht immer so klar. Also zuerst bilden wir die Ableitungen. Dann setzen wir unser $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ in unsere Ableitungen und dann setzen wir es in die allgeime Formel ein? Und was hat es jetzt mit dem $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ auf sich?

31.12.2012, 01:09

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
$\begin{eqnarray*} a_{(n)}= (\ln (a))^n? \end{eqnarray*}$

Ist das damit gemeint, weil ich komme irgendwie nicht dahinter unglücklich

unglücklich

31.12.2012, 12:05

Mystic

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RE: Taylorreihe
Ok, dann ein weiteres Mal

Zitat:

Original von Mystic
Du brauchst eine allgemeine Formel für

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \quad (n \in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$

denn deine gesuchte Taylorreihe ist ja gerade

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

wobei du nur noch deine Formel für $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ aus einem der letzten Postings, nämlich

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x=0)= (\ln (a))^n? \end{eqnarray*}$

einsetzen musst...

31.12.2012, 12:11

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(\ln (a))^n}{n!} \quad (n \in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$

Also so? Und jetzt verwirrt

verwirrt

?

31.12.2012, 12:23

Mystic

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RE: Taylorreihe
Bitte jetzt nochmals mein obiges Zitat ansehen (und nein, ich werde es nicht nochmals bringen!) und einfach für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in die Reihe einsetzen...

31.12.2012, 12:46

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \end{eqnarray*}$

Ohje tschuldige Hammer

Hammer

das ist echt peinlich. Und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ kann ich dann noch einsetzen zu:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{\ln (a))^n}{n!}x^n \end{eqnarray*}$

oder?

31.12.2012, 14:18

Mystic

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Ohje tschuldige Hammer

Hammer

das ist echt peinlich. Und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ kann ich dann noch einsetzen zu:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{\ln (a))^n}{n!}x^n \end{eqnarray*}$

oder?

Ja stimmt jetzt... Freude

Freude

Was für eine Zangengeburt und das am letzten Tag im alten Jahr... unglücklich

unglücklich

Trotzdem guten Rutsch... Wink

Wink

31.12.2012, 14:27

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
Also nochmal rekapitulierend:

Die allgemeinge Taylorformel lautet:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \cdot (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

Unsere Funktion lautet: $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x=e^{x \ln a} \end{eqnarray*}$

Unsere Ableitungen sind: $\begin{eqnarray*} f'(x)=a^{x}ln(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=a^{x}ln^{2}(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=a^{x}ln^{3}(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x)=a^{x}ln^{4}(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(0)}(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(1)}(0)=\ln(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(2)}(0)=\ln^{2}(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(3)}(0)=\ln^{3}(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(0)=\ln^{4}(a) \end{eqnarray*}$

Somit bekommen wir die Taylorreihe:

$\begin{eqnarray*} T(x)=1+\frac{ln(a)}{1!}+\frac{ln^{2}(a) x^{2}}{2!}+\frac{ln^{3}(a) x^{3}}{3!}+\frac{ln^{4}(a) x^{4}}{4!}... =\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{ (\ln(a))^n}{n!} \cdot x^n \end{eqnarray*}$

Was ist nun die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ???

Nun brauchen wir eine allgemeine Formel für

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \quad (n \in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$

denn die gesuchte Taylorreihe ist ja gerade

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

wobei man noch für die Formel $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x=0)= (\ln (a))^n \end{eqnarray*}$

einsetzen muss.

Das liefert dann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{\ln (a))^n}{n!}x^n \end{eqnarray*}$

31.12.2012, 14:36

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
Zweierlei Schritte verstehe ich nun aber nicht so ganz unglücklich

unglücklich

Nun brauchen wir eine allgemeine Formel für

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \quad (n \in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$

Woher kommt diese Formel denn unglücklich

unglücklich

?

denn die gesuchte Taylorreihe ist ja gerade

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

Und wieso ist die gesuchte Taylorreihe so ?

Vielen Dank. Ja tut mir leid unglücklich

unglücklich

. Guten Rutsch.

31.12.2012, 16:44

Alexandra Ardanex

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RE: Taylorreihe
Bestimmen Sie die Taylor-Reihen $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}x^{n} \end{eqnarray*}$ der folgenden Funktionen um $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ . Geben Sie die folgenden Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ an.

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=a^{x} \end{eqnarray*}$ (erledigt) Freude

Freude

b) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+x)^{2}} \end{eqnarray*}$

Unsere schöne Formel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=- \frac{2}{(x+1)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{6}{(x+1)^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-\frac{24}{(x+1)^5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x)=\frac{120}{(x+1)^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(0)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(0)=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f''(0)=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'''(0)=-24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f''''(0)=120 \end{eqnarray*}$

Somit haben wir unsere Taylorreihe:

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty 1+\frac{-2x}{1!}+\frac{6x^{2}}{2!}++\frac{-24x^{3}}{3!}++\frac{120x^{4}}{4!}+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+5x^{4}... \end{eqnarray*}$

Soweit ist es glaube ich richtig nun hänge ich an dem $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ fest. Ist es das $\begin{eqnarray*} (-1)^n? \end{eqnarray*}$

31.12.2012, 17:09

Monoid

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von Alexandra

$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty 1+\frac{-2x}{1!}+\frac{6x^{2}}{2!}++\frac{-24x^{3}}{3!}++\frac{120x^{4}}{4!}+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+5x^{4}... \end{eqnarray*}$

Der Term ist sinnlos... Warscheinlich kommst du selber drauf..
Und du brauchst eine Formel für $\begin{eqnarray*} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Soweit ist es glaube ich richtig nun hänge ich an dem $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ fest. Ist es das $\begin{eqnarray*} (-1)^n? \end{eqnarray*}$

Nein...

31.12.2012, 17:19

Alexandra Ardanex

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Ohje ich habe mich schon gefreut, dass mal alles glatt läuft... unglücklich

unglücklich

Wo liegt denn der Fehler ? Ich hab's doch nach dem Verfahren von a) gemacht traurig

traurig

Danke für deine Antwort.

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