Lagrange Basis

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Manski Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Basis
Hallo,

ich bin in unserem Skript auf die Aussage gestoßen, dass die Lagrange Polynome (Interpolation) eine Basis bilden. Irgendwie wird dabei mit folgendem argumentiert:



Ich verstehe, dass das so ist. Aber im nächsten Schritt wird gleich gesagt, dass (logischerweise) daraus folgt, dass die Lagrange-Polynome eine Basis bilden. Und das versteh ich nicht. Wieso zeigt das, dass die Lagrange Polynome eine Basis bilden?

Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß
Manski

PS: Ich hoffe, das ist das richtige Forum. verwirrt
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Basis
Hallo Manski!

Aus . Das bedeutet, die sind linear unabhängig, spannen den Vektorraum der Polynome vom Grad auf und bilden damit eine Basis. Könnte das so hinhauen, hmm verwirrt ?

Gruss yeti
 
 
Manski Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo yeti,

Danke für die Antwort. Soweit kam mir das auch schon in der Sinn. Nur war ich mir dann nicht sicher, ob es reicht, die lineare Unabhängigkeit für einen bestimmten Wert (hier also die Stützstelle ) zu zeigen.

Außerdem hat sich mir bei dieser Lösung die Frage gestellt: Wenn ich für eine der Stützstellen einsetze, dann bleibt ja letztendlich nur stehen. Aber dann kann ich die anderen Koeffizienten (also ) beliebig wählen, d.h. ich finde auch eine Lösung, die den Nullvektor ergebit, in der mind. ein Koeffezient ist. Das würde doch dann aber bedeuten, dass die Vektoren linear abhängig sind, oder?

Gruß
Manski
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Manski
... d.h. ich finde auch eine Lösung, die den Nullvektor ergebit, in der mind. ein Koeffezient ist.


Hallo Manski!

Meiner Meinung nach eben nicht! Sieh das Ganze mal als Interpolationsproblem an. Seien die Stützstellen und das Interpolationspolynom.
Dann hat das homogene Interpolationsproblem nur das Nullpolynom als Lösung (n+1 Nullstellen, aber Polynom nur vom Grad n), was auf meine obige Behauptung führt. (Eine Bestätigung dieser meiner Aussage durch einen Matheprofi wäre sicher erwünscht, Arthur?)

Gruss yeti
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal lässt sich zeigen, dass die Lagrangesche Interpolationsaufgabe eine eindeutige Lösung besitzt. Jedoch finden wir verschiedene Darstellungen des Interpolationspolynoms. Was auch ganz "klar" ist, da es Element des Vektorraums ist, den wir mit verschiedenen Basen versehen können.

LIPA

Bestimme zu (n+1) paarweise verschiedenen Knoten und zugehörigen Knotenwerten ein Polynom mit:




Lagrange-Darstellung des IPs:



Mit der von dir geposteten Eigenschaft (*):



verifiziert man sofort, dass das Lagrange-Polynom die LIPA erfüllt. Desweiteren folgt damit auch seine Eindeutigkeit.

Nun zu den Eigenschaften, eine Basis zu sein. Es muss also gezeigt werden, dass die aus den Knoten resultierenden Polynome
eine Basis des bilden. D.h., sie dürfen sich nur trivial zum Nullpolynom kombinieren lassen.




Wegen (*) gilt:



Und somit ist die Basiseigenschaft bewiesen.
Takota Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Basis
Hallo Manski,
leider verstehe ich den Schluß des Beweises nicht. Wenn man jeweis die Stützstellen einsetzt, dann könnte man sich ja fragen, ob der Beweis jetzt nur speziell für die Stütstellen xj gelten? Die lin. unab. soll ja aber für alle x gelten. Das kann ich im Moment nicht einsehen. Kannst Du mir das bitte näher erläutern? (Bin kein Mathematiker, aber Matheinteressiert Augenzwinkern )
Gruß
Takota
(Bin kein Mathematiker, aber Matheinteressiert Augenzwinkern )
Takota Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Basis
Hallo tigerbine,
meine Frage richtet sich an dich. Habe ausversehen manski angesprochen. Augenzwinkern
Gruß
Takota
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