grad(ggT(f,g))>= 1 <=> f,g gem. Nullst.

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Sorall Auf diesen Beitrag antworten »
grad(ggT(f,g))>= 1 <=> f,g gem. Nullst.
Hallo Ihr Mathematiker,

ich habe folgende Aussage zu beweisen:

Zeigen Sie: Zwei Polynome haben genau dann eine gemeinsame Nullstelle in , wenn mindestens Grad 1 hat.

"":
Ist klar, da nach Fundamentalsatz der Algebra Polynome mit Grad 1 mindestens eine Nullstelle in haben.

"":
Hier kommt nun mein Problem...
Ich habe nun zwei Polynome mit einer gem. Nullstelle.
, wobei und dem Linearfaktor von der gemeinsamen Nullstelle in entspricht.

Ab hier würde ich eine Fallunterscheidung einbringen, ob die gemeinsame Nullstelle irrational ist, komplex und so weiter. Denn laut unserer Definition muss der ggT von den Polynomen wieder im ganzrationalen Polynomring liegen oder nicht verwirrt ?

Hoffe mir kann hier jemand helfen smile

P.S.: Frohe Festtage Wink
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Hinrichtung solltest du das Minimalpolynom der gemeinsamen Nullstelle betrachten.
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für die schnelle Hilfe smile

mit Hilfe des Minimalpolynoms...!?

Also das Minimalpolynom ist doch ein normiertes Polynom aus einem Ideal, welches das Ideal erzeugt oder? Soll dann mein das Ideal sein bzgl. ? Ich weiss leider grade nicht wirklich worauf mich das bringen soll? unglücklich
Da wir bisher auch noch kein Minimalpolynom eingeführt haben.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann nennen wir das Kind halt anders.


Also sei gemeinsamen Nullstelle von .

Betrachte die Menge .

ist ein Ideal. Was weißt du nun über Ideale in ?
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay also kann ich sagen es gibt ein Polynom aus mit Nullstelle an einer komplexen Stelle?
Das war eher mein Problem, aber wenn dass so ist, dann weiss ich nun glaube ich wie es weitergeht. Melde mich denke ich morgen nochmal, ob ichs hinbekommen habe oder nicht...

Danke dir smile
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

So habe mir mal noch nen halben Tag mehr Zeit genommen, aber irgendwie fällt der Groschen nicht.
Dass es sich bei um ein Ideal handelt, ist mir klar, da es nicht-leer ist ( liegen drine) bzw. additiv und multiplikativ ist. Aber inwiefern hilft mir das?

Direkt zu Idealen in haben wir nie was aufgeschrieben.
Frage die sich mir auch stellt ist, gilt wenn , dass dann ist? Ansonsten würde dass für mich keinen Sinn ergeben.

Hoffe auf baldige Erleuchtung... Gott
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wisst ihr nicht, dass ein Hauptidealring ist?
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dass es ein Hauptidealring ist haben wir daher, da jeder Polynomring über einem Körper ein Euklidischer Ring ist und jeder Euklidischer Ring ein HAuptidealring ist.

Demancht ist also mein Ideal ein Hauptideal.
Sprich es existiert ein mit

Damit gibt es ein Erzeuger von unserem Ideal in . Demnach muss es ein ggT in geben mit Grad 1.

Korrekt? Oder nochmal voll daneben? verwirrt

P.S.: Vielen danke für die große Geduld mit mir smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Konkret ist dann also ein Teiler von sowohl als auch . Also ist man fertig, weil mind. Grad 1 hat.
Sorall Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Super. Danke dir vielmals smile
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