Identische Grenzwerte

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Asbest Auf diesen Beitrag antworten »
Identische Grenzwerte
Meine Frage:
Zu Zeigen ist, dass die folgenden Grenzwerte identisch sind:

mit

und mit

Meine Ideen:
Ausser dass der Grenzwert jeweils e ist habe ich leider keinerlei Idee wie man das ganze angehen könnte.
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir wüssten, dass der Grenzwert beide male e ist, wären wir ja bereits fertig Augenzwinkern

Wie habt ihr denn den Ausdruck definiert? Denke dabei genauer an

edit: würde ich aber in der Tat voraussetzen Augenzwinkern

PS: wenn du es etwas schöner haben willst, kann man mit \left( .... \right) passend große Klammern machen in latex.
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

Danke shconmal für die shcnelle Antwort smile

Der Ausdruck ist mir leider unbekannt.

Ist der Ausdruck notwendig für diese Aufgabe ?
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, der Stern war hier ein Platzhalter, eventuell hat das verwirrt Augenzwinkern

Hier ist mal eine Definition, es kann aber gut sein, dass ihr es leicht anders gemacht habt. Diese Formulierung passt auch nicht genau, wir verwenden lieber die in den reellen Zahlen zur Stetigkeit äquivalente Folgenstetigkeit, also dass für jede gegen den Punkt (hier unendlich) konvergente Folge die Funktionswerte der Folge gegen einen Grenzwert (hier e) konvergieren.

(Klick für Vergrößerung)
[attach]27465[/attach]

Umschrieben geben wir uns eine beliebige bestimmt gegen unendlich divergierende (oder gegen unendlich konvergente, je nachdem wie man es ansieht) Folge vor (allquantor entfernen) und zeigen dann, dass die Funktionswerte dieser Folge gegen e konvergieren. Dabei benutzen wir, dass die erste Folge gegen e konvergiert (oder allgemein nur das sie überhaupt konvergiert und wir nicht über unfug reden)

Der in der Aufgabenstellung zweite Grenzwert sagt also etwas über alle Folgen eines bestimmten typs aus, während der Erste ein "normaler" ist.

PS: Ich versuche irgendwie auf den Punkt zu kommen, mein Problem ist, dass manche die erweiterten reellen Zahlen nicht gemacht haben, eine äquivalente leicht andere Definition verwenden, etc. Deshalb wäre es praktisch zu wissen, wie ihr denn diesen Ausdruck genau definiert habt. Es wird dennoch wohl am Ende auf dasselbe hinaus laufen, also etwas wie oben beschrieben für die Funktionswerte einer beliebigen gegen unendlich konvergenten Folge zu zeigen.
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das überfordert mich jetzt alles ein wenig ^^

Also so wie ich das mit dieser Definition der Konvergenz verstanden habe muss ich jetzt beweisen dass die Funktion an der Stelle stetig ist ?

Die erweiterten reellen Zahlen sagen mir leider vom namen her nichts, aber anscheinend sind es einfahc die reellen Zahlen mit dem unendlichen ?
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip wollen wir, dass die Funktion


stetig bei unendlich ist.

Dafür verwenden wir aber lieber eine äquivalente Beschreibung, die Folgenstetigkeit. Wir müssen dann zeigen, dass für jede Folge, die gegen unendlich konvergiert, die Folge der Funktionswerte gegen den Funktionswert bei unendlich konvergieren.

Wenn man den Ausdruck leicht anders definiert hat oder anders behandelt kommt man auf diese Aufgabe vmtl etwas direkter.

Wir nehmen dann also eine beliebige Folge, die gegen unendlich konvergiert bzw bestimmt gegen unendlich divergiert (was bedeutet das?) und zeigen, dass die Folge der Funktionswerte gegen den gewünschten Wert konvergieren.

Es ist dazu soweit ich sehe praktisch zu zeigen, dass die Monotonie ebenso im kontinuierlichen gilt, also dass die Funktion monoton steigt (oder zumindest ab einer gewissen Stelle ab). Im Prinzip brauchen wir, dass die Funktion zwischen den diskreten natürlichen Zahlen "nahe an unendlich" keine Ausreißer hat.
 
 
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

ist es Absicht dass bei deiner Funktion unten n statt x stehen ?

Also soll ich bzw in eine äquivalente Folge umwandeln und von dieser den Grenzwert behandeln ?

Inwiefern meinst du "eine beliebige Folge" ?
wenn sie gegen unendlich konvergiert oder divergiert heisst das doch dass

Was die monotonie jetzt mit dem ganzen zu tun hat verstehe ich leider nicht :/
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Der untere ist ein einzelner Wert, um genauer zu sein wie wir bereits wissen e.

Eine beliebige gegen unendlich konvergente Folge, d.h.
und wir wollen zeigen, dass:

Also die Folgenstetigkeit für den Punkt was hier äquivalent zur Stetigkeit und damit dem gewünschten ist.

Dazu betrachte, dass wir wissen, dass schließlich beliebig groß wird (konvergiert gegen unendlich). Da wissen wir, dass für gegebenes Epsilon es eine Stelle gibt, ab der für natürliche Zahlen der Abstand von , allerdings muss nicht immer natürliche Zahlen annehmen. Es ist also zwar beliebig groß, allerdings uU zwischen zwei natürlichen Zahlen. Dafür hilft aber ein Monotonieargument relativ gut.

PS: Wenn man noch nie so mit unendlich umgegangen ist kann das verwirren (unendlich als Punkt in der Definitionsmenge, mich verwirrt das auch noch zur genüge Augenzwinkern ), aber wenn mir nicht bekannt ist, wie ihr definiert habt, kann ich nur die mir bekannte Definition heran ziehen. In der Aufgabe ist der besagte Punkt aber leider eben .
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube mein Problem mit deinem Ansatz ist einfach dass wir die Folgenstetigkeit nie behandelt haben.
Zumindest ist mir der Ansatz völlig fremd :/

Die einzige Wirkliche Definition die wir für den Limes hatten war:

"Konvergiert gegen , so schreibt man
"

Dann einige Beispiele zu wichtigen Grenzwerten, unter anderem auch zu diesem:



Und dazu 3 Bemerkungen:

1.

2.

und 3.

Und später noch eine weitere Bemerkung für grenzwerte im Allgemeinen:

" bedeutet etwas anderes als für

Die Forderung ist "stärker".

Natürlich auch noch mit elementaren Dingen wie:

" ist stetig wenn gilt:
"

Ich weiss nicht ob das jetzt iwie weiterhilft, aber das sind so die Dinge bei denen ich mir gedacht habe sie könnten mir weiterhelfen.
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr nicht definiert habt, wie soll man dann diese Aufgabe behandeln?

Im Prinzip steht bei dir aber später (leicht verändert)

wobei die rechte Seite wenn nichts anderes ist als die Folgenstetigkeit. bedeutet nichts anderes, als dass für jede Folge mit gilt, dass

Wir wollen ja (siehe ersten Post) zeigen, dass

wobei die linke Gleichheit bekannt ist. Wir zeigen also

Also das für jede Folge mit gilt, dass
Dieses "für alle ..." beweist man dann eben, indem man sich eine beliebige aber feste Folge des Typs vornimmt und es die Eigenschaft zeigt.

Wir haben also eine Folge von der wir, abgesehen von ihrer Konvergenz gegen unendlich, nichts wissen. Von dieser zeigen wir eben nun, dass der Limes der Funktionswerte der Folge gegen e konvergiert.
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich weiss dass

und ich wegen der Folgenstetigkeit sagen kann dass:

für ein jede Folge die im unendlichen gegen Unendlich konvergiert dann kann ich doch annehmen dass zB eine solche Folge ist.

Stimmt das so oder habe ich etwas übersehen ?
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Folgenstetigkeit sollen wir ja gerade zeigen, zudem ist diese hier:


Zudem müssen wir es für jede Folge zeigen und eben nicht nur für den Spezialfall den wir ja bereits zur Verfügung haben.
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

Und die Folgenstetigkeit beweise ich indem ich beweise dass für jedes gilt dass im unendlichen gegen Unendlich konvergiert, über das ich aber ansonsten nicht mehr weiß ?

Verstehe ich das so richtig ? Und wenn ja, wie kann ich das mit so wenig Information beweisen ?
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen, dass also in unserer Funktion
1.

Zudem ist bekannt, dass
2.

Versuchen wir es mal zuerst mit der Anschauung:
konvergiert gegen unendlich, wird also wie bereits erwähnt schließlich beliebig groß. Um Konvergenz zu zeigen nehmen wir direkt die Definition, also suchen wir ein sodass für alle gilt .

Nach (2.) finden wir ein sodass für gilt . Jetzt wird aber irgendwann auch größer als dieses , ist allerdings nicht unbedingt eine natürliche Zahl. Wir liegen also irgendwo weit oben und uU zwischen zwei natürlichen Zahlen, für die unsere Bedingung gilt. Wenn sich also nun unsere Funktion "schön" zwischen diesen zwei natürlichen Zahlen verhält, so verlassen wie den Epsilonbereich um unseren Grenzwert nicht. Dieses "verhält sich schön" muss aber begründet werden, wobei z.B. Monotonie hilft.

Rechnerisch muss man dies noch etwas genauer fassen und eben alle Teilaspekte zeigen.
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

Verwenden wir also im Endeffekt dass wenn eine Funktion nahc oben hin beschränkt ist und sie monoton ist sie automatisch konvergiert ? (deshalb die Monotonie?)
Und dass diese Obere Schranke e ist ?
Und deshalb ist der Betrag der Differenz bzw. für sehr große m bzw. u (die größer sind als ein Gewähltes n) kleiner als ein beliebiges ?

ich hoffe ich hab zumindest teilweise was richtig verstanden :/
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht in eine ähnliche Richtung und ist vmtl auch durchführbar, trifft aber schnell auf das Problem, dass bloß weil f monoton ist nicht für jede gegen unendlich konvergente Folge die Folge der Funktionswerte monoton sein muss, ein einfaches Beispiel wäre

Dann ist aber nicht monoton steigend (anschaulich springt die Folge der Funktionswerte auf dem Graphen immer nach vorne, dann um die hälfte zurück und dann wieder weiter nach vorne). Das Problem kann man vmtl umgehen, ich wüsste aber spontan nicht wie.



Bedenke ausserdem, dass wir bereits wissen. Deshalb kennen wir das Verhalten an natürlichen Zahlen bereits gut und wollen daraus auf den Rest schließen. Wie vorher beschrieben gibt es genau wegen dieser Konvergenz für jedes positive Epsilon ein sodass für alle größeren natürlichen Zahlen die Funktion in der Epsilonumgebung von unserem Grenzwert e bleibt (blaue Punkte sind hier bei den natürlichen Zahlen, in der Vergrößerung mit schwarzen Pfeilen extra markiert). Zwischen diesen haben wir aber ein Problem: die Funktion könnte soetwas wie die rote Kurve im Bild machen, das wäre für uns nicht sehr gut und würde alles stark erschweren. Wir hätten die Kurve gerne innerhalb des grün-grauen Rechtecks, dann ist alles gut - Beide Punkte die es begrenzen (natürliche Zahlen) sind innerhalb der Epsilonumgebung, also auch alles zwischen ihnen. Wenn jetzt aber die Funktion monoton ist kann sie die rote Kurve nicht machen (am besten kurz überlegen wieso).
[attach]27520[/attach]
(Anschaulich immer als "weit oben" zu denken, wir müssen für jedes Epsilon schließlich erst einmal zu so großen natürlichen Zahlen gehen, dass aufgrund unserer bekannten Konvergenz von f(n) diese in der Epsilonumgebung vom Grenzwert liegen)
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ja ... wenn sie monoton ist heisst dass ja dass sie entweder steigt oder fällt, und nicht beides. Also in unserem Fall nur steigt.

Will ich nun also beweisen, dass die Funktion ab einem gewissen den grauen Bereich, also die Epsilonumgebung, nicht mehr verlässt, indem ich zeige dass sie in dieser Umgebung monoton ist ?
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Der graue Bereich ist sogar noch weniger als die Epsilonumgebung vom Grenzwert, eigentlich zeigen wir mehr als notwendig, aber Monotonie lässt sich eben oft gut zeigen.

Wir wissen und damit gibt es für jedes Epsilon ein sodass . Zudem gibt es, da unsere nahezu unbekannte Folge gegen unendlich konvergiert ein (ich nenne es mal bewusst schon genau so wie das, was wir suchen), sodass .

Für unser gilt also folgendes:

Wobei der Fall trivial ist (warum?), wir können also sogar annehmen, dass

Jetzt gilt aber wegen unserer bekannten Konvergenz, dass

Also eben, dass die Funktion an den benachbarten natürlichen Zahlen innerhalb der Epsilonumgebung ist. Daraus wollen wir auf alle Werte zwischen diesen natürlichen Zahlen (welche uU von v abhängen) schließen, wozu sich Monotonie anbietet.

Monotonie ist für Bereiche im Definitionsbereich sinnvoll, nicht für Bereiche in der Zielmenge, von daher ergibt "sie in dieser Umbebung [Epsilonumgebung eines Wertes im Zielbereich] monoton ist" keine Sinn, zeige am besten, dass die Funktion auf oder wenn es einfacher geht ab irgendeiner Zahl größer Null monoton steigend ist.
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

okay mal eben paar kurze Fragen:

Zitat:
sodass .


hier schreibt du u und weiter unten dann v ... ist das absicht ?

Zitat:


die Schreibweise mit diesen nach unten bzw. oben geöffneten Klammern ist mir leider unbekannt .. was bedeuten diese ?

Wie beweise ich monotonie am besten ?
Zu schulzeiten hätte ich jetzt abgeleitet und dann gleich 0 gesetzt um zu sehen ob es ein Extremum gibt. Ist das hier auch möglich ?
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich immer mehr und mehr daran gewöhnt, bei unterschiedlichen Aussagen die Variablen umzubenennen, da Mehrfachverwendung von einer Variablen sehr schnell zu Fehlern führt. Hier sind die Aussagen allerdings praktisch gleich, sodass diese Umbenennung in der Tat nicht notwendig wäre. In diesem Sinn: ja es war Absicht, ist aber in diesem Fall eher schlecht für die Lesbarkeit.

Zu den Gaußklammern: Das ist nur auf- bzw abrunden, also als Beispiel ist

Ableiten ist schonmal nicht so schlecht. Nullsetzen eher nicht, wir wollen keine Extremstellen bestimmen, sondern lediglich, dass es überall steigt (da es eigentlich sogar streng monoton ist würde man auch keine Nullstellen finden, zumindest außerhalb unendlich). Was wollen wir also von der Ableitung?
Asbest Auf diesen Beitrag antworten »

Okay habe verstanden Augenzwinkern

Ah okay .. wieder was gelernt .. war mir bisher unbekannt.

Also will ich im Endeffekt dass die Ableitung immer positiv ist weil dann die Funktion steigt ?
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Ableitung sollte (zumindest außerhalb von unendlich, da müsste man eventuell noch ein paar Worte darüber verlieren, aber das nur am Rande) größer Null sein.
Andebi Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen man hätte den Grenzwert einer Funktion wie folgt definiert.




mit und gilt:



Müsste man dann zeigen, dass es für alle Folgen gilt oder reicht eine, denn dann könnte man einfach die gegen unendlich bestimmt divergierende Folge

wählen, dann wäre und der Limes davon wäre dann , was ja zu zeigen wäre.
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

@Andebi es steht in deiner einen Aussage , in latex \forall ..., "für alle"
Es reicht also nicht, allein die bekannte Folge zu betrachten.

Dabei sieht man, weshalb
Zitat:
Original von Asbest
[...] Die Forderung ist "stärker". [...]
Denn wenn man anders herum kennt, folgt für jede gegen unendlich konvergente Folge, dass die Funktionswerte der Folge gegen e konvergieren, also als Spezialfall und somit .
Andebi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, man muss also im Endeffekt nur zeigen, dass



für alle , die gegen unendlich divergieren.

Wie macht man das am Besten? Ist es hilfreich an der Gleichung mit Grenzwertsätzen so lange rumzurechnen, bis man eine wahre Aussage erhält und hierfür auch den binomischen Lehrsatz zu verwenden oder geht es anders schneller?
Bakatan Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe thread.
Wenn du eine elegantere/andere/schnellere Methode findest kannst du es uns gerne mitteilen smile
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