Orthogonale Polynome

28.12.2012, 15:55

Malisinha

Orthogonale Polynome

Meine Frage:
Sei V der Vektorraum der reellen Polynome zweiter Ordnung. Das Skalarprodukt sei gegeben als

<f/p> = (integralzeichen mit grenzen von 0 bis 1) f(x)*g(x) dx

Bestimme alle Polynome aus V, die orthogonal auf p(x)=x+1 stehen.

Meine Frage ist, wie kann ich eine Funktion zweiter Ordnung herstellen, wenn ich doch nur eine Funktion erster Ordnung habe? und falls ich sie konstruieren muss, wie kann ich die zweite Funktion konstruieren?

Meine Ideen:
Ich weiß, dass das Skalarprodukt, d.h. das Integral null ergeben muss, damit ich die Bedingung der Orthogonalität erfülle. Was muss ich aber danach machen?

28.12.2012, 15:57

Math1986

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RE: Orthogonale Polynome

Zitat:

Original von Malisinha
Meine Ideen:
Ich weiß, dass das Skalarprodukt, d.h. das Integral null ergeben muss, damit ich die Bedingung der Orthogonalität erfülle.

Mehr musst du gar nicht machen, d.h. du musst alle Polynome zweiter Ordnung bestimmen die dies erfüllen.

28.12.2012, 16:24

Malisinha

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RE: Orthogonale Polynome
Wie bestimme ich alle Polynome zweiter Ordnung, die diese Bedingung erfüllen? Muss ich p(x) als Vektor darstellen und einen weiteren Vektor bilden, der mit p(x) multipliziert gleich null ergibt? Leider weiß ich nicht, wie ich meine Idee mathematisch umsetzen kann Erstaunt2

28.12.2012, 16:42

Math1986

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RE: Orthogonale Polynome
Ein Polynom der Ordnung 2 hat die Gestalt $\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x^2+c\cdot x + d \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$

Das musst du nun einsetzen und die Koeffizienten bestimmen.

28.12.2012, 16:49

Malisinha

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RE: Orthogonale Polynome
ok, danke und wozu brauchte ich das polynom P(x)??

28.12.2012, 16:55

Math1986

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RE: Orthogonale Polynome
Das gegebene Polynom $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ (siehe oben) soll doch orthogonal auf $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ stehen.

31.12.2012, 13:00

Malisinha

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RE: Orthogonale Polynome
danke, ich dussel....

31.12.2012, 16:22

RavenOnJ

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RE: Orthogonale Polynome

Zitat:

Original von Malisinha
Wie bestimme ich alle Polynome zweiter Ordnung, die diese Bedingung erfüllen? Muss ich p(x) als Vektor darstellen und einen weiteren Vektor bilden, der mit p(x) multipliziert gleich null ergibt? Leider weiß ich nicht, wie ich meine Idee mathematisch umsetzen kann Erstaunt2

Ich glaube, dir ist der Begriff "Vektorraum" und "Vektor" im allgemeinen mathematischen Sinne nicht wirklich geläufig. Das, was man in der Schule als "Vektor" bezeichnet, ist nur ein Beispiel für ein Element aus einem bestimmten Vektorraum, welcher dort typischerweise der $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ oder der $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ ist. Der Begriff "Vektorraum" ist aber viel umfassender. Schau mal bei wikipedia.

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