Kombinatorik: Torfolgen

28.12.2012, 22:34

rocknroller

Kombinatorik: Torfolgen

Hey Leute,

Seit geraumer Zeit hänge ich an folgende Kombinatorikaufgabe:

Das häufi gste Ergebnis beim Fuball ist 2:1. Dafür gibt es drei mögliche Torfolgen: 1:0 - 2:0 - 2:1 , 1:0 - 1:1 - 2:1 und 0:1 - 1:1 - 2:1.
Das Endspiel der letzten Handball-WM gewann Frankreich knapp mit 37:35. Wie viele Torfolgen sind bei diesem Ergebnis möglich? Wie viele verschiedene Torfolgen sind allgemein für das Ergebnis
n : m möglich?

Meine Übersetzung in das Urnenmodell sieht so aus, dass ich eine Urne mit 37 schwarzen-, und 35 roten Kugeln habe.
Da wir 72 Kugeln zu vergeben haben und keine doppelt, legen wir keine zurück und die Reihenfolge spielt eine Rolle.

so müsste ich doch die Formel n!/(n-k)! anwenden oder?

n = 72, aber was ist k? 37 oder 35?

Egal dürfte es ja nicht sein, da jenachdem ein anderes Ergebnis heraus kommt.

Sind meine Überlegungen soweit sinnvoll?

Mfg Rocknroller

29.12.2012, 00:20

Kasen75

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Hallo,

du schreibst:

Zitat:

Da wir 72 Kugeln zu vergeben haben und keine doppelt, legen wir keine zurück und die Reihenfolge spielt eine Rolle.

Die Reihenfolge spielt eine Rolle. Soweit würde ich dir zustimmen.
Jedoch dürfen (müssen) Kugeln gleicher Farbe mehrfach gezogen werden.
Des Weiteren wird allen Kugeln ein Platz zu gewiesen.

Welche Formel ergibt sich somit bei Dir ?

Grüße.

29.12.2012, 09:56

rocknroller

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hallo Kasen 75,
Danke für die schnelle Antwort.

Also kann ich mir das so vorstellen, dass man die Kugeln zieht und dann die Plätze von 1-72 auffüllt?

Nur wieso soll ich die Kugeln wieder zurücklegen? Klar werden sie mehrfach gezogen, aber wenn ich doch 37 und 35 von einer Farbe habe, würden es ja mehr werden, wenn ich sie zurücklegen würde.

Dann würde sich n^k ergeben.

29.12.2012, 10:30

Kasen75

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Hallo rocknroller,

ich habe ja nicht geschrieben, dass du die Kugeln zurücklegen sollst. Ich meinte nur, dass du nicht unterscheidbare Kugeln (gleiche Farbe) mehrmals ziehst.

Allgemein stehen dir 6 Grundmodelle zur Verfügung:

Kombination, Permutation und Variation. Jeweils mit und ohne Wiederholung.

$\begin{eqnarray*} n^k \end{eqnarray*}$ ist es jedenfalls nicht. Somit bleiben nur noch 5 Kandidaten.

Edit: Eigentlich nur noch 4. Der erste Vorschlag war es ja leider auch nicht.

Grüße.

30.12.2012, 13:01

rocknroller

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Irgendwie steh ich grad aufm Schlauch. Wenn es die beiden Formeln nicht sind würde das ja bedeuten, dass die Reihenfolge egal wäre. Aber 2:1 ist doch ein anderes Ergebnis als 1:2 und somit hab ich dann doch 2 möglichkeiten oder nicht?

verwirrt

30.12.2012, 20:59

Kasen75

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Die Rehenfolge ist ja auch nicht egal. Es ist in der Tat ein Unterschied, ob es 1:2 steht oder 2:1. Es wird sogar unterschieden zwischen 1:0,1:1,2:1 und 0:1,1:1,2:1. Die Ziehungen sind dann: s,s,r bzw. r,s,s
Deswegen wird die Reihenfolge beachtet.

Steht es aber 2:1, dann wird nicht unterschieden zwischen 1:0,2:0,2:1 und 1:0,2:0,2:1. Die ersten beiden Tore sind schwarze Kugeln. Zwischen den schwarzen Kugeln wird nicht unterschieden. Deswegen ist eine Wiederholung möglich.

Und da alle Kugeln gezogen werden, ist klar wieviele Elemente berücksichtigt werden müssen.

Mit der unten stehenden Tabelle kannst du jetzt die richtige Formel ermitteln.

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \begin{tabular}[ht]{|p{2cm}||p{2cm}||p{2.8cm}||p{5cm}||p{5cm}||} \hline \textrm{Alle} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{Elemente} & \textrm{Reihenfolge beachten} & \textrm{Wiederholung} \linebreak \textrm{möglich} & \textrm{Typ} & \textrm{Formel}\\ \hline \textrm{JA} & \textrm{JA} & \textrm{Nein} & \textrm{Permutation von verschiedenen Elementen} & $n!$ \\ \hline \textrm{JA} & \textrm{JA} & \textrm{JA} & \textrm{Permutation von gruppenweise identischen Elementen} & \Large $\frac{n!}{m_{_1} \cdot m_{_2} \cdot \ \ldots \ \cdot m_{{_{k-1}}} \cdot m_{_k} }$ \\ \hline \textrm{NEIN} & \textrm{JA} & \textrm{NEIN} & \textrm{Variation ohne Wiederholung} & $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot k!$ \\ \hline \textrm{NEIN}& \textrm{JA}& \textrm{JA} & \textrm{Variation mit Wiederholung} & \Large $n^k$\\ \hline \textrm{NEIN}& \textrm{NEIN}& \textrm{NEIN} & \textrm{Kombination ohne Wiederholung} & \Large $\frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \normalsize =\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$\\ \hline \textrm{NEIN}& \textrm{NEIN}& \textrm{JA} & \textrm{Kombination mit Wiederholung} & $\normalsize \begin{pmatrix} n+k-1 \\ k \end{pmatrix}$\\ \hline \end{tabular} \end{eqnarray*}$

31.12.2012, 14:29

rocknroller

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oh in meinem Skript hatten wa nur die letzten 4 Formeln. Aber danke dir für die Tabelle. Die ist echt gut Freude

Mit der 2. Formel komme ich ja dann aufs richtige Ergebnis: 3!/ 2! wären ja 3 Möglichkeiten.

Für die Handballaufgabe also 72!/ 37!

Ich hab aber leider immernoch ein Verständnisproblem.

Wenn ich mir das so vorstelle, dass ich in der Schüssel eine schwarze- und eine rote Kugel hab und wiederholung möglich ist. Wie kann ich dann vermeiden, dass z.Bsp 3 mal die rote Kugel gezogen wird. Ansonsten kann ich deine Argumentation nachvollziehen.

31.12.2012, 18:30

Kasen75

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Du hast die richtige Formel identifiziert. Freude

Nur hast du sie nicht ganz richtig interpretiert.

Bei einem Ergebnis von 2:1 gibt es in der Tat 3 Möglichkeiten um dort hinzukommen.

Die 2. Formel darauf angewendet ist aber: $\begin{eqnarray*} \frac{3!}{2! \cdot 1!}=3 \end{eqnarray*}$

Die eine rote Kugel ist gruppenweise identisch zu sich selbst. Deswegen muss streng genommen auch 1! im Nenner stehen.
Somit stehen im Nenner die Fakultäten aller gruppenweise indentischen Elemente.

Wenn man sich die Formel für ein Beispiel klar machen will, ist es günstig ein kleines Beispiel zu nehmen. Wenn es aber zu klein ist, dann besteht die Gefahr, dass man das gleiche Ergebnis bekommt wie bei einer anderen Formel.

Ich habe es für den Stand von 2:3 mal durchgespielt. Wenn ich mich nicht verschrieben habe, sind die Variationen:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}[ht]{|p{2cm}||p{0.5cm}||p{0.5cm}||p{0.5cm}||p{0.5cm}||p{0.5cm}||p{0.5cm}||p{0.5cm}||p{0.5cm}||p{0.5cm}||p{0.5cm}|} \hline $\textrm{i-tes Tor / } \linebreak \textrm{Variation}$ & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 \\ \hline 1.& 1:0 &1:0 &1:0 &1:0 &0:1 &0:1 &0:1 &0:1 &0:1 &0:1 \\ \hline 2. & 2:0 &1:1 &1:1 &1:1 &0:2 &0:2 &0:2 &1:1 &1:1 &1:1 \\ \hline 3. & 2:1 & 2:1 &1:2 &1:2 &0:3 &1:2 &1:2 &1:2 &1:2 &2:1 \\ \hline 4. & 2:2 & 2:2& 2:2& 1:3&1:3&2:2 &1:3 &1:3 &2:2 &2:2 \\ \hline 5. & 2:3&2:3 &2:3 &2:3 &2:3 &2:3 &2:3 &2:3 &2:3 &2:3 \\ \hline \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Unabhängig von diesem kleinen Beispiel müsste klar sein, wie du die Formel für den 2. Typ anwenden musst.

Wenn du sehr, sehr viel Zeit hast, kannst du ja mal eine Tabelle anlegen für den Stand von 35:37. Big Laugh

Du kannst es vermeiden, dass 3 mal die rote Kugel gezogen wird, indem du nur 2 rote Kugeln in die Urne legst. Wie gesagt, die Kugeln werden nicht zurückgelegt.

Man kann sich dem Problem auch anders nähern. Stell dir einfach vor, dass du die Kugeln zufällig in eine Reihe hinlegst:r,s,r,r,s,r,s,r,r,r,s,r, ...
Wieviele Möglichkeiten gibt es da?

Es ergibt sich somit das gleiche Problem wie beim Wort "Mississippi". Wieviele unterscheidbare Buchstabenkombinationen kann man mit diesem Wort bilden, wenn alle Buchstaben verwendet werden müssen ?

Danke für das Kompliment bezüglich der Tabelle. Da es es einige Zeit gekostet hat sie zu erstellen, freue ich mich um so mehr.

Auf jeden Fall wünsche ich Dir einen guten Rutsch ins neue Jahr. smile