Beste Approximation einer Funktion durch eine Gerade

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10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
Beste Approximation einer Funktion durch eine Gerade
Meine Frage:
Sei differenzierbar.

Sei eine Konstante und und fuer alle .



D.h.: ist eine Gerade durch , und r ist eine Parametrisierung von .



Zeigen Sie: genau dann, wenn .

In diesem Sinn ist die Gerade, die nahe an am besten approximiert.

Meine Ideen:
Diese Aufgabe habe ich gerade in Analysis, 1. Semester. Ich hab leider überhaupt keinen Plan, wie ich anfangen soll. Wäre nett, wenn ihr mir erstmal einen Lösungsansatz gebt.
Übrigens: Unter dem lim muss noch stehen , aber das hab ich nicht hingekriegt. Vielleicht könnte das hier auch noch jemand posten, wie das geht.
Vielen Dank schon mal an alle, die antworten!

edit von sulo: Mehrere Latex-Klammern eingefügt, Text aus den Latex-Klammern rausgezogen um eine Überbreite und dadurch schwere Lesbarkeit zu vermeiden.
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du sollst zeigen:



Fang mal mit der Hinrichtung an und setze mal und ein.
Also: Angenommen der Grenzwert existiert und ist 0...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde einmal damit beginnen, den Term umzuformen:



Die Betragsstriche links stehen für die euklidische Länge eines (zweidimensionalen) Vektors, die Betragsstriche rechts für den gewöhnlichen reellen Betrag.

Jetzt irritiert mich nur eines: Müßte nicht auch noch das im Nenner Betragsstriche haben?
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht zwingend - das Vorzeichen macht an der Stelle nichts aus, solange der Grenzwert 0 ist smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt! Es geht ja um den Grenzwert 0. Hatte ich am Ende ganz verdrängt ...
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich so umformen?





Angenommen

Dann ist auch

Ist das so richtig? Und wenn ja, wie folgere ich daraus, dass ist?


edit von sulo: Bitte nicht den gesamten Text in eine einzige Latexklammer setzen!
Geändert.
 
 
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht ganz. Dass der Zähler gegen 0 geht können wir folgern,
das würde aber für jedes beliebige gelten. und bringt uns demnach nichts.
Aber auch das kann man so nicht machen, denn:

Die ersten drei Terme stimmen so, beim vierten hast du den Betrag weggelassen, es ist aber


Wenn du das noch korrigierst, bist du fast bei der von Leopold angegebenen Form,
mal abgesehen davon, dass es bei dir eben statt heißt.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich dann schreiben:








Das sieht ja dann schon fast aus wie die Ableitung. Aber wie kriege ich die Betragsstriche da weg?

edit von sulo: Zeilenumbrüche eingefügt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist recht freizügig mit den Gesetzen für den reellen Betrag. Oder um es klarer zu sagen: Was machst du denn da! Der Betrag ist weder mit der Addition verträglich noch kann man gegen kürzen. Und schon gar nicht kannst du einen von abhängigen Term aus dem Limes, der über gebildet wird, herausziehen. Oder fehlen da Klammern? Und wie kann man einen Term nach einer Variablen auflösen? Nur Gleichungen kann man auflösen.

Wo anfangen ...

Am besten von vorne. Wir waren uns schon einig, daß



gilt. Jetzt kann man äquivalent umformen (bei allen Grenzwerten werde der Grenzübergang durchgeführt):






Beim ersten Äquivalenzpfeil mache dir klar, daß sich durch das Weglassen des Betrags im Zähler des Bruches höchstens das Vorzeichen des Terms ändern kann. Beim Grenzwert spielt das aber keine Rolle (bei anderen Grenzwerten schon).

Und wie wird die Rechnung jetzt zu Ende geführt?


edit von sulo: Zeilenumbruch eingefügt.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, da sollten eigentlich Klammern hin.

Kann man jetzt schreiben:




?
edit von sulo: Zeilenumbrüche eingefügt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt es. Wobei du zuletzt durchaus einen Äquivalenzpfeil schreiben darfst.

Allerdings gefällt mir deine Schreibweise mit dem Limeszeichen nicht. Du verwendest das Limeszeichen, als sei das ein einfacher algebraischer Kalkül. Das ist aber mitnichten so. Gut, hier macht es nichts aus. Aber andernorts fällt man mit so etwas gnadenlos auf den Hosenboden.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Und die Rückrichtung? Schreibe ich das ganze jetzt rückwärts auf?

@ Leopold: Wie soll ich das lim-Zeichen sonst schreiben oder was könnte da schief gehen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, jetzt seh ich es ein.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie geht jetzt die Rückrichtung?
Monarius Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen , also dass der Grenzwert


überhaupt existiert und mit übereinstimmt.

Wir wissen also (warum?), dass .

Wenn du dir das klar gemacht hast, kannst du überlegen, ob du damit auf den ursprünglichen Term kommst.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich hab es jetzt, glaub ich, verstanden. Dankeschön an alle, die mir geholfen haben!
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