Meine Algebra Fragen (z.B. Eigenvektoren - unendlich viele?)

01.01.2013, 16:41

DannyDre

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Meine Algebra Fragen (z.B. Eigenvektoren - unendlich viele?)

Hallo, gerade übe ich inverse Matrizen und Eigenwerte/vektoren.

Inverse M. sind vom Prinzip her einfach, man muss halt nur den Gazß Algorithmus beherrschen und hoffen, dass man sich nicht (ohne Taschenrechner unglücklich

unglücklich

) vertut...

Aufgaben siehe Anhang: (sowie meine blauen Lösungen, richtig??)

Bei Eigenwertproblemen:
Die Eigenwerte kann ich immer berechnen; meistens ist einer 0........ wenn man für ?? einsetzt steht ja da: C=C was sagt mir das??

und manchmal setze ich das ?? ein und die Matrix die entsteht, beinhaltet NUR die leichen Zahlen....... Das heißt es gibt ja unendlich viele Lösungen........
aber ich dachte immer: "Jeder Eigenwert besitzt genau einen zugehörigen Eigenvektor"?

01.01.2013, 17:11

Math1986

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RE: Meine Algebra Fragen (z.b. Eigenvektoren - unendlich viele??)
Die Inversen kannst du selbst auf ihre Korrektheit hin überprüfen indem du nachrechnest (nicht alle sind richtig). Wenn die Determinante =0 ist dann existiert keine Inverse, das ist richtig - die Formulierung "nicht bildbar" finde ich da bestenfalls irreführend.

Eigenvektoren sind auch nur bis auf (von Null verschiedene) Vielfache bestimmt, also gibt es da unendlich viele Eigenvektoren, das ist richtig. Die Aussage "Jeder Eigenwert besitzt genau einen zugehörigen Eigenvektor" stimmt somit auch, da die Aussage nicht die Eindeutigkeit impliziert.

01.01.2013, 17:31

DannyDre

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Ich komm immer zum Punkt, wo man die Eigenwerte einsetzt und man dann das LGS hat.
Und irgendwie (immer???) stoß ich auf ein LGS, das unendlich viele Lösungen hat, weil die eine Zeile ein Vieflaches der anderes ist.

Aber gerade ist mir gekommen, dass man ja die eine Variable als fest nehmen kann (x1) und die zweite Variable (x2) in Abhängigkeit von der ersten machen kann.

(z.b. Aufgabe aus papula Formelsammlung smile

smile

(rechnen.............) ==> LGS:

I - x1 - 5x2 = 0
II x1 + 5x2 = 0

also:

$\begin{eqnarray*} x_{1} = x_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} = - \frac{1}{5} x_{1} \end{eqnarray*}$

Aber dann geht's nicht weiter:
In der Lösung (ohne weitere Schritte) steht dann da:
Eigenvektor (unnormiert):
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
weil die nämlich davor geschrieben haben:

$\begin{eqnarray*} x_1 = -5 \alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = \alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( \alpha \in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$

01.01.2013, 17:41

Math1986

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Poste doch mal die komplette Aufgabe.

01.01.2013, 17:51

Che Netzer

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RE: Meine Algebra Fragen (z.b. Eigenvektoren - unendlich viele??)

Zitat:

Original von Math1986
Die Aussage "Jeder Eigenwert besitzt genau einen zugehörigen Eigenvektor" stimmt somit auch, da die Aussage nicht die Eindeutigkeit impliziert.

Da muss ich aber widersprechen...

01.01.2013, 17:52

Math1986

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RE: Meine Algebra Fragen (z.b. Eigenvektoren - unendlich viele??)

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Math1986
Die Aussage "Jeder Eigenwert besitzt genau einen zugehörigen Eigenvektor" stimmt somit auch, da die Aussage nicht die Eindeutigkeit impliziert.

Da muss ich aber widersprechen...

Hast recht, das "genau" muss weg.

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01.01.2013, 17:54

DannyDre

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hier^^

12.01.2013, 12:19

DannyDre

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Ich hab jetzt Eigenvektoren und Eigenwerte verstanden^^ Auch das in der Formelsammlung...
(die haben einfach x_1 als alpha bezeichnet, x2 in Abhängigkeit von alpha angeben und beim Lösungsvektor dann alpha ausgeklammert, und irgendeine Konstante davor geschrieben - fertig Big Laugh

Big Laugh

)

Aber ich hab etzt eine Aufgabe, die sieht eigentlich einfach aus:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und man soll davon die REELLEN Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen....
Ich habs ausgerechnet und raus:
$\begin{eqnarray*} \lambda _{1} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda _{2/3} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

Deswegen kommt das dann raus für lamda_1 eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und man erhält ja als Gleichungssystem NUR diese eine Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \lambda _{1} + \lambda _{2} +\lambda _{3} =0 \end{eqnarray*}$

Das Problem ist nur, ich kann ja 2 Variablen frei wöhlen..... Ich bräcuhte ja dann 2 Paramter alpha und beta vielleicht....... Aber wie mach ich das dann??
Oder geht das auch mit 2 Prametern?

12.01.2013, 12:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von DannyDre
und man soll davon die REELLEN Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen....
Ich habs ausgerechnet und raus:
$\begin{eqnarray*} \lambda _{1} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda _{2/3} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

Das stimmt noch nicht, rechne das lieber nochmal.
Vielleicht wird dann auch das Problem mit den Eigenvektoren zum Eigenwert Null klarer.

12.01.2013, 12:53

DannyDre

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stimmt hab mich verrechnet Big Laugh

Big Laugh

lamda = 0 versteh ich irgendwie nicht unglücklich

unglücklich

zu lamda = 3:

nur der NULLVEKTOR ist die Lösung für die drei Lambdas......
(Aber geometrishc kann ich mir das gar nicht vorstellen..... wie will man denn einen Vektor mit 0 multiplizieren?? - wie zeichnet man das?)

12.01.2013, 12:56

Che Netzer

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Das sieht schon besser aus.
Du hast jetzt einen doppelten Eigenwert Null – welche Dimension kann dann der zugehörige Eigenraum haben?

Zum Eigenwert Drei: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist kein EIgenvektor, aber zum Glück auch nicht einzige Lösung des Gleichungssystems.

12.01.2013, 12:59

DannyDre

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stimmt, ich hab mir irgendwie gemerkt, dass es immer ein vektor mit zahlen sein muss....... wenn nur 0er raus kommen is das keine Lösung Big Laugh

Big Laugh

Dimension von 0 ist ja eigentlich keine Dimension mehr. Is ja nix....
Dimension 0 wäre ja dann eigentlich ur ein einziger Punkt, also der Punkt O(0/0/0)
(weil Dimension 1 sind ja Linien, Strecken usw....)
Dimension 2 sind ja Flächen
DImension 3 sind VOlumenkörper von 3D Körpern wie Quader, Kugel usw...)

12.01.2013, 13:01

Che Netzer

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Vielleicht solltest du meine Frage etwas genauer lesen:

Zitat:

Original von Che Netzer
Du hast jetzt einen doppelten Eigenwert Null – welche Dimension kann dann der zugehörige Eigenraum haben?

12.01.2013, 13:02

DannyDre

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0² = 0 ?
haha, ich weiß es leider nicht unglücklich

unglücklich

Ich würd 0 sagen unglücklich

unglücklich

12.01.2013, 13:04

Che Netzer

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Was hat denn $\begin{eqnarray*} 0^2=0 \end{eqnarray*}$ mit meiner Frage zu tun?
Hast du überhaupt verstanden, was ich von dir wissen wollte? verwirrt

verwirrt

12.01.2013, 13:05

DannyDre

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Die Dimension vom doppelten Eigenwert 0 ?

unendliche Dimension vll ?

12.01.2013, 13:09

Che Netzer

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Nein, ein Eigenwert hat keine Dimension. Und Unendlich ist die schon gar nicht.
Ich fragte nach der Dimension des zugehörigen Eigenraumes.

12.01.2013, 13:11

DannyDre

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ein Wert => Dimension 1 ?

12.01.2013, 13:12

Che Netzer

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unglücklich

Zitat:

Nein, ein Eigenwert hat keine Dimension.

Zitat:

Ich fragte nach der Dimension des zugehörigen Eigenraumes.

Oder was wolltest du mit dieser "Implikation" aussagen?

12.01.2013, 13:15

DannyDre

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

12.01.2013, 13:18

Che Netzer

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$\begin{eqnarray*} 2\pi^2 \end{eqnarray*}$ ?

Könntest du bitte einen vollständigen Satz schreiben und darin kenntlich machen, was diese Matrix sein soll?

12.01.2013, 13:19

DannyDre

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Ich hab absolut keinen Schimmer, ich weiß es leider nicht! unglücklich

unglücklich

12.01.2013, 13:26

Che Netzer

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Unter anderem habe ich ja schon gefragt, ob du verstanden hast, was ich dich gefragt habe.
Du möchtest nun also sagen, dass du nicht weißt, ob du die Frage verstanden hast?

12.01.2013, 13:26

DannyDre

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Ja, das möchte ich sagen

12.01.2013, 13:41

Che Netzer

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Na gut, dann formuliere ich sie nochmal etwas anders:
Wenn die (algebraische) Vielfachheit des Eigenwertes Null $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ist, welche Zahlen kommen dann für die geometrische Vielfachheit, also für die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert Null infrage?

12.01.2013, 13:44

DannyDre

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$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ? Big Laugh

Big Laugh

12.01.2013, 13:49

Che Netzer

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Und welcher außerdem noch?

12.01.2013, 13:52

DannyDre

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$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?

12.01.2013, 14:04

Che Netzer

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Nein, Null darf nicht die Dimension eines Eigenraumes sein.

12.01.2013, 14:12

DannyDre

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$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ? und was sagt uns das?

12.01.2013, 14:18

Che Netzer

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Das sagt uns, dass der zu Null gehörige Eigenraum nicht zwingend eindimensional ist.
Wie sah denn deine Lösungsmenge zu $\begin{eqnarray*} Ax=0 \end{eqnarray*}$ aus?

12.01.2013, 14:31

DannyDre

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eine einfache Lösung für:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = x_{2} = x_{3} =0 \end{eqnarray*}$

12.01.2013, 14:43

Che Netzer

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Das ist dann aber kein Eigenvektor. Und ich meinte ja auch die Lösungsmenge des gesamten linearen Gleichungssystems, nicht nur eine einzelne.
Da gibt es nämlich ganz viele Lösungen.

12.01.2013, 15:08

DannyDre

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Jetzt hab ichs:

Lösungen:
x_{1}= x_{2} =x_{3}

$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
alpha ist irgendein Faktor.......
es existtieren Lösungen, wenn alle x den gleichen Wert haben (1 1 1) oder (88 88 88) .....

12.01.2013, 15:12

Che Netzer

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Ja, diese Vektoren bilden den Eigenraum zum Eigenwert Drei. Und wie sieht der Eigenraum zum Eigenwert Null aus?

12.01.2013, 15:50

DannyDre

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Ja das kann ich nicht sagen.
Weil man könnte zwar benennen:
$\begin{eqnarray*} \alpha = x_{3} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \beta = x_{2} \end{eqnarray*}$

und dann $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit der beiden angeben...

12.01.2013, 15:57

Che Netzer

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Das ist doch schonmal eine Idee...

12.01.2013, 18:38

DannyDre

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Das war ja meine Anfangsfrage....
Das kann man doch nicht machen oder??
oder geht das?

12.01.2013, 18:42

Che Netzer

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Wieso nicht?
Wenn ihr z.B. folgende Aufgabe hättet:

Zitat:

Lösen Sie das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&-2&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\,. \end{eqnarray*}$

– dann würdest du doch auch einen Parameter in Abhängigkeit der beiden anderen darstellen, oder?
Hier hast du fast denselben Fall, nur sieht deine Matrix ein wenig anders aus.

12.01.2013, 18:48

DannyDre

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$\begin{eqnarray*} x_{1}+ x_{2}+ x_{3} =0 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x_1 = \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = \beta \end{eqnarray*}$ dann
$\begin{eqnarray*} x_3 = - \alpha - \beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ -\alpha -\beta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und jetzt einfach für alpha und beta irgendeine Zahl einsetzen?

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