Linearkombination auf lineare Abhängigkeit untersuchen |
| 02.01.2013, 10:43 | Angel92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Linearkombination auf lineare Abhängigkeit untersuchen Hallo, ich habe ziemliche Probleme bei einer Aufgabe, da ich gar nicht weiß, wie ich ansetzen soll. Sie lautet folgendermaßen: Die folgenden Vektoren eines Vektorraumes V über R seien linear unabhängig. Untersuchen Sie im folgenden jeweils die aus Vektor u,v,w gebildeten Linearkombinationen (i) Vektor a,b,c und (ii)Vektor b,c,d auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit. Gegeben sind: Vektor a = v + 2w , Vektor b = u + v + w , Vektor c = 2v + 4w und Vektor d = 2u + v - 2w Kann da vielleicht jemand helfen? Meine Ideen: Ich versteh die Aufgabenstellung leider nicht. |
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| 02.01.2013, 11:13 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lineare Unabhängigkeit wird doch immer auf dieselbe Art geprüft: Ist der Nullvektor nur auf die triviale Art kombinierbar, oder gibt es mehr als eine Möglichkeit? In die Gleichung setzt Du dann deine Vektoren ein und führst die Darstellung auf die linear unabhängigen Vektoren u,v,w zurück. |
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| 02.01.2013, 11:16 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Vektoren a, b, c sind linear unabhängig, wenn die Gleichung NUR erfüllt ist für . D.h. wenn es eine Lösung gibt, in der mindestens eine der Variablen r, s, t ungleich 0 ist, dann sind die Vektoren linear abhängig. |
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| 02.01.2013, 13:15 | Angel92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay. Müssen alle 3 Vektoren voneinander abhängig sind oder kann es auch sein, dass b und c voneinander abhängig sind aber von a beide unabhängig? für a,b und c finde ich keine Zahl mit der ich die Vektoren multipliziere, um auf die jeweils anderen zu kommen. Also darum geht es doch oder? Ob ich eine Zahl finde, mit der ich den Vektor multipliziere, um auf den jeweils anderen zu kommen. Oder nicht? Bei (i) haben a und c kein Wert für u. b hat allerdings ein u. Also kann ich aus keiner 0 eine 1 machen. Um es mal einfach auszudrücken. |
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| 02.01.2013, 13:35 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage zeigt, dass Du den Begriff noch nicht richtig verstanden hast. Eine Menge von Vektoren kann linear unabhängig oder abhängig sein. Das bezieht sich dann aber immer auf die komplette Menge und nicht auf eine Teilmenge. |
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| 02.01.2013, 13:56 | Angel92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay. Dann jetzt verstanden. Müssen also alle zusammen linear abhängig sein. Ich habe gerade ein wenig gestöbert im Netz. Lineare Abhängigkeit lässt sich auch mittels Determinanten prüfen. Wenn ich aus a,b und c eine Matrix mache, hat sie die Determinante 0, was bedeutet, dass sie linear abhängig sind. Warum komm ich aber nicht handschriftlich drauf. Hänge immer noch bei den 0 u. Ich kann doch nicht aus Null u Ein u machen. |
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| 02.01.2013, 14:07 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was stört Dich denn an dem 0u? Es wird doch nur gefordert, dass nicht alle Linearfaktoren gleichzeitig Null sind. Einzelne dürfen es schon sein. |
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| 02.01.2013, 14:48 | Angel92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach, ich glaub, ich hatte einen Denkfehler drin. Man muss also ein Alpha, Beta und Gamma finden, um dass die Lösung Null wird. Geht in dem Fall a, b und c vielleicht Alpha = -2 Beta = 0 Gamma = 1 ? |
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| 02.01.2013, 14:49 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das wäre möglich |
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| 02.01.2013, 16:30 | Angel92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach, wie klasse. Vielen Dank! |
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| 02.01.2013, 16:35 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wobei das aber auch Vorsicht verlangt. War deine Matrix vielleicht bzw. die transponierte davon? Wenn ja, dann ging das nur, weil , und eine Basis des davon aufgespannten Unterraumes bilden und darin auch , und liegen – du hast dann deren Koordinatendarstellungen bzgl. der Basis gebildet. |
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